Нахождение минимума функции одной переменной в MathCad

В программе MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно найти отрезок, внутри которого находится только одна экстремальная точка.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

- Minimize (f, xi, ... ,х_m) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

- Maximize (f, xi,... ,х_m) - вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

Здесь f (xi,... ,х_m,...) – исследуемая функция; xi, ...,х_m- аргументы, по которым производится минимизация(максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Если никаких дополнительных условий не вводится, поиск экстремумов выполняется для любых значений х от - до . Существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются различные локальные экстремумы. Если начальное приближение выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения функции, то численный метод вообще может вообще не справиться с задачей.

Задание 7: Найдите значения экстремумов обычным способом (приравняв производную к нулю и решив полученное нелинейное уравнение в MathCAD).

Задание 8: Найдите минимум исследуемой функции численным способом используя три разные начальные приближения.

Если на аргументы исследуемой функции накладываются какие-либо ограничения, то решаемая задача называется задачей поиска условного экстремума. Например, в нашем случае, переменная х должна принадлежать отрезку [-10,10]. В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции.

Задание 9: Найдите минимум исследуемой функции численным способом, добавив условие -10<x<10. Не забывайте о важности выбора правильного начального приближения и в случае задач на условный экстремум.

Критерии оценки полученных знаний, умений и навыков:

студент получает 4 балла при выполнении лабораторной работы и ответе на контрольные вопросы преподавателя, поощрительный 1 балл студент получает при своевременном (в день проведения лабораторной работы) выполнении лабораторной работы, дополнительные 5 баллов студент получает при реализации одного из изученных алгоритмов на языке программирования ПАСКАЛЬ. Таким образом, максимальное количество баллов, которые студент может получить за данную лабораторную работу, равно 10.

Примерные контрольные вопросы:

1. Чем отличается локальный экстремум от глобального, а условный от безусловного?

2. Перечислите достоинства и недостатки метода равномерного перебора.

3. От чего зависит скорость сходимости метода половинного деления?

4. Какие преимущества дает метод золотого сечения?

5. Перечислите достоинства и недостатки метода Ньютона.

6. Выполнение каких условий необходимо для использования метода Ньютона?

7. Какие функции для нахождения экстремумов существуют в программе MathCAD?

8. Как в программе MathCAD осуществляется поиск условного эестремума?