Лабораторная работа №3 Интерполяция и аппроксимация функций Интерполяция и аппроксимация функций в Excel.

Пусть в ходе лабораторного эксперимента получен ряд парных значений (x, y). Доподлинно известно, что должна получиться квадратичная зависимость. Средствами Excel найдем коэффициенты интерполирующего полинома второй степени.

Задание 1: Сфальсифицируем данные эксперимента: возьмем некоторую квадратичную функцию, например y=N*x²+5x-N/3. Зададим в столбце А значения х на отрезке [-3; 5,5] шагом 0,5 (коэффициенты исходного полинома, границы отрезка и шаг вы можете выбирать по своему усмотрению). В столбце В получим значения y.

Задание 2: Теперь по этим «экспериментальным» значениям (х, у) подберем коэффициенты полинома второй степени методом наименьших квадратов. Для этого создадим таблицу следующего содержания:

x	y	xy	x2y	x2	x3	x4
-3	0	0	0	9	-27	81
[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]

Количество строк этой таблицы определяет количество “экспериментальных” пар (x, y). В последней строке таблицы просуммируем по столбцам полученные значения. В этой строке мы получили все коэффициенты системы уравнений (11), решив которую, мы найдем коэффициенты искомого полинома.

Задание 3: Выпишите расширенную матрицу системы линейных уравнений. Решите систему любым из известных вам методов. Чтобы отличить интерполирующий полином от исходного, обозначим его y1. Сосчитайте значения функции в точках x_i и постройте функции y и y1 на одном графике. Сделайте выводы о качестве аппроксимации экспериментальных данных методом наименьших квадратов.

Задание 4: “Зашумим” экспериментальные данные. Для этого прибавим к значениям y некоторый случайный шум, использовав для этого генератор случайных чисел. В Excel есть функция СЛЧИС( ), которая возвращает равномерно распределенное случайное число, большее либо равное 0 и меньшее 1. У этой функции нет аргументов! Чтобы получить случайное вещественное число на отрезке [a, b], можно использовать следующую формулу: СЛЧИС()*(b-a)+a. Для того, чтобы значения шума были невелики и принимали как положительные, так и отрицательные значения, пересчитаем случайное вещественное число на отрезке [-0,1; 0,1].

После того, как вы изменили значения y, значения в таблице, найденные коэффициенты интерполирующего полинома и графики функций автоматически изменятся. Наглядно оцените качество подбора коэффициентов полинома методом наименьших квадратов, сделайте выводы.

Задание 5: Подберем для “зашумленных” экспериментальных данных интерполяционный полином Ньютона. Напомним, что степень полинома определяется количеством экспериментальных точек, поэтому если вы хотите ограничиться полиномом третьей степени, необходимо отобрать четыре точки, равноотстоящие друг от друга. Для нашего примера это могут быть точки с абсциссами -3, -1, 1, 3. Сосчитайте по формулам (4) - (6) значения коэффициентов а₀, а₁, а₂, а₃. Обозначим интерполяционный полином Ньютона с найденными коэффициентами y2. Сосчитайте значения функции в точках x_i (см. задание 1) и постройте функции y, y1 и y2 на одном графике. Сделайте выводы о качестве подбора интерполяционного полинома.