Лабораторная работа №5 Изучение алгоритмов численного нахождения минимума функций одной переменной Изучение алгоритмов численного нахождения минимума функции одной переменной в Excel

Допустим, нам нужно найти минимумы функции y= x*cos(N*x) на отрезке [-10,10].

Задание 1: Для начала выделите интервал, на котором содержится только один минимум исследуемой функции. Это можно сделать визуально, построив график функции.

Уточнение экстремума методом равномерного перебора.

Задание 2: Задайте начальное значение х₁ точки минимума достаточно близко (слева!) к наблюдаемому на графике первому минимуму функции. Найдите для данного значения аргумента значение функции y₁. Возьмите шаг h>0 равным выбранной точности нахождения экстремума. Следующее значение х₁ определяется так: х_{2 =} х₁ + h. Найдите для нового значения аргумента значение функции y₂. Сравните полученные значения y₁ и y₂. Пока выполняется условие y₁> y₂ – мы двигаемся в правильном направлении. Как только y₁< y₂, минимум найден. Промежуточные значения x и y оформите в виде таблицы.

Уточнение экстремума методом половинного деления.

Задание 3: Рассмотрим некоторый отрезок [а, b], на котором находится искомый минимум.

Мы должны уменьшить длину отрезка так, чтобы минимум остался внутри отрезка. Уменьшение длины отрезка производится выбором двух точек х₁ и х₂, расположенных симметрично относительно середины отрезка, по формуле (3) и сравнением значений функций в этих точках. Примите k=0,05. Промежуточные значения a, b, x₁, x₂ и значения функции в этих точках оформите в виде таблицы:

k	a	x1	x2	b	f(a)	f(x1)	f(x2)	f(b)	d=|x1-x2|
0,05	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]

Следите за тем, чтобы значение функции на границах отрезка a и b не становилось меньше значения функции в точках х₂ и х₁. Это означало бы, что искомый минимум находится вне отрезка [х₁, х₂]. Если любые действия по уменьшению ширины отрезка [a, b] приводят к тому, что мы “проскакиваем” минимум, то можно сделать вывод, что улучшить результат при данном коэффициенте k уже нельзя.

Уточнение экстремума методом золотого сечения.

Задание 4: Используя формулу , повторите действия задания 3 и заполните следующую таблицу:

a	x1	x2	b	f(a)	f(x1)	f(x2)	f(b)	d=|x1-x2|
[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]	[…]

Уточнение экстремума методом Ньютона.

Задание 5: На этом же листе вашей книги организуйте следующую таблицу:

x	f′(x)	f′′(x)	d=|xk-xk-1|
[…]	[…]	[…]	[…]

где в качестве начального значения х возьмите любое значение из границы выбранного вами интервала. Следующее значение экстремума определяется по формуле .

Задание 6: Сравните точность и быстроту нахождения экстремумов данной функции при помощи изученных четырех методов.