2. Метод Ньютона.

Рассмотрим ту же систему нелинейных уравнений:

.

Для того, чтобы воспользоваться для ее решения методом Ньютона, очевидно, необходимо найти матрицу Якоби

.

За первое приближение можно принять те же значения, что вы использовали для метода простой итерации. Значения переменных на втором и последующих шагах определяются из СЛУ F(X^k)+J(X^k)*(X^k+1-X^k) = 0.

Задание 7: Решите данную систему нелинейных уравнений методом Ньютона. Для этого организуйте новую таблицу

x	y	z	∆X
[…]	[…]	[…]	[…]

На каждом шаге итерации вам придется считать новую матрицу J и обратную к ней. Облегчайте свой труд копированием формул! Расчет закончите при ∆Х <0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, и полученные значения корней. Исследуйте сходимость метода при выборе разных начальных условий, сравните со сходимостью метода простой итерации.

Задание 8: Для закрепления материала решить обоими методами еще одну систему нелинейных уравнений:

Решение систем линейных уравнений в MathCad

Нелинейные системы уравнений решаются в MathCAD при помощи конструкции Given … Find. В этом случае решение системы уравнений находится приближенно. Чтобы найти решение системы уравнений, необходимо:

1. Записать начальные приближения переменных. От удачного выбора начального приближения зависит скорость и сам факт нахождения нужного решения. В нашем случае подойдут нулевые начальные значения переменных.

2. После слова Given записать уравнения системы без фигурной скобки, причем при введении знака равенства удерживайте клавишу Ctrl.

3. Вызвать функцию Find(x,y,z) =

Задание 9: Решите систему нелинейных уравнений:

Задание 10: Решите в программе MathCAD систему нелинейных уравнений из задания 8.

Критерии оценки полученных знаний, умений и навыков:

студент получает 4 балла при выполнении лабораторной работы и ответе на контрольные вопросы преподавателя, поощрительный 1 балл студент получает при своевременном (в день проведения лабораторной работы) выполнении лабораторной работы, дополнительные 5 баллов студент получает при реализации одного из изученных алгоритмов на языке программирования ПАСКАЛЬ. Для данной лабораторной работы допускается написание двух программ (соответствующих алгоритмам из разных частей лабораторной работы). Таким образом, максимальное количество баллов, которые студент может получить за данную лабораторную работу, равно 10.

Примерные контрольные вопросы:

1. От чего зависит точность численного решения систем линейных уравнений?

2. От чего зависит сходимость и скорость сходимости метода простой итерации и метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений?

3. Какие недостатки и достоинства имеют метод простой итерации и метод Ньютона?

4. Как определяется точность решения, полученного методом простой итерации и методом Ньютона?

5. Какой из двух изученных методов, на ваш взгляд, является наиболее удачным для решения конкретной системы нелинейных уравнений?

6. Какие команды программы MathCAD позволяют решить системы линейных и нелинейных уравнений?