Решение алгебраических уравнений в MathCad

С помощью символьного процессора программы MathCAD можно вычислить аналитически значение переменной, при котором заданное выражение обращается в ноль, то есть решить уравнение, записанное в виде f(x)=0. Напомню, что для выполнения этой задачи необходимо сделать следующее:

1. Ввести левую часть уравнения, то есть f(x).

2. Выделить переменную, относительно которой будет решаться уравнение.

3. Выбрать в меню Символика пункт Переменная / Решить.

Для численного решения нелинейного уравнения общего вида f(x)=0 используется функция root(f(x),x,a,b), где f(x) – левая часть уравнения (можно указать имя уже определенной вами функции), х – имя переменной, относительно которой решается уравнение, необязательные параметры a, b – границы отрезка, на котором ищется корень. Если вы не указываете границы отрезка, перед функцией root() обязательно указать начальное значение переменной х, например х:= ‑1. Поиск корня уравнения ведется итерационным методом с заданной точностью (по умолчанию 10^-3). За точность отвечает переменная TOL (tolerance).

Задание 7: Вычислить (точно или приближенно) корень искомого уравнения при помощи программы MathCAD. Для приближенного поиска корня уравнения выбрать точность, равную 10^-5. Сравните результаты расчетов, полученные в разных программах.

Критерии оценки полученных знаний, умений и навыков:

студент получает 4 балла при выполнении лабораторной работы и ответе на контрольные вопросы преподавателя, поощрительный 1 балл студент получает при своевременном (в день проведения лабораторной работы) выполнении лабораторной работы, дополнительные 5 баллов студент получает при реализации одного из изученных алгоритмов на языке программирования ПАСКАЛЬ. Таким образом, максимальное количество баллов, которые студент может получить за данную лабораторную работу, равно 10.

Примерные контрольные вопросы:

1. От чего зависит скорость сходимости метода половинного деления и метода хорд?

2. Как определяется точность решения, полученного методом половинного деления или методом хорд?

3. Какие недостатки и достоинства имеют метод половинного деления и метод хорд?

4. От чего зависит сходимость и скорость сходимости метода простой итерации и метода Ньютона?

5. Какие недостатки и достоинства имеют метод простой итерации и метод Ньютона?

6. Какой из изученных методов, на ваш взгляд, является наиболее удачным для решения конкретного уравнения?

7. Какие команды программы MathCAD позволяют решить нелинейное уравнение?

Лабораторная работа №2 Изучение алгоритмов численного решения систем алгебраических уравнений

Часть 1. Решение систем линейных уравнений

Изучение алгоритмов решения систем линейных уравнений в excel

Средствами Excel найдем решение следующей системы линейных уравнений:

232·х1	+ 455·х2	+ 677·х3	+ 891·х4	+ 762·х5	= 85847
334·х1	+ 243·х2	+ 254·х3	+ 546·х4	+ 345·х5	= 43181
563·х1	+ 467·х2	+ 345·х3	+ 445·х4	+ 672·х5	= 59472
756·х1	+ 454·х2	+ 461·х3	+ 234·х4	+ 892·х5	= 64903
684·х1	+ 324·х2	+ 231·х3	+ 123·х4	+ 980·х5	= 58167

Задание 1: Пользуясь функциями МОБР(…) и МУМНОЖ(…) в Excel, найдите решение данной системы уравнений, путем обращения основной матрицы системы.

МОБР – возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Синтаксис функции: МОБР(массив), где массив — числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

МУМНОЖ – возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1, и с таким же числом столбцов, как массив2.

Синтаксис функции: МУМНОЖ(массив1;массив2)

Итак, в ячейки А1:Е5 введите числа – коэффициенты основной матрицы системы. Из ячейки А7 вызовите функцию МОБР(А1:Е5). Теперь формулу в этом примере необходимо ввести как формулу массива. Для этого выделите диапазон A7:Е11 (25 ячеек, начиная с ячейки, содержащей формулу), нажмите клавишу F2, а затем одновременно нажмите три клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. В результате в ячейках А7:Е11 вы получили матрицу, обратную матрице, введенной в ячейки А1:Е5.

Задание 2: Используя функцию МОПРЕД(…) в Excel, найдите решение системы уравнений методом Крамера.

Совет: чтобы сосчитать определители _i, сначала составьте соответствующие матрицы путем копирования (не переноса!) нужных вам столбцов в нужном порядке.