Лабораторная работа №1 Изучение алгоритмов численного решения нелинейных уравнений Изучение алгоритмов численного решения нелинейных уравнений в Excel.
Рассмотрим некоторые алгоритмы численного решения нелинейных алгебраических уравнений на примере уравнения
sin(N*x) + 5 – N*x = 0.
Для начала выделим интервал, на котором содержится только один корень. Это можно сделать визуально, построив график исследуемой функции y = sin(N*x) + 5 – N*x и найдя точки пересечения его с осью ОY.
Задание 1: Задайте значения x, например, на интервале [-5, 5] шагом 0,2. Найдите для данных значений аргумента значения функции y, постройте график, визуально определите интервал значений х, на котором находится искомый корень.
Уточнение корня методом половинного деления.
Задание 2: На втором листе вашей книги организуйте следующую таблицу, где в качестве начальных значений а и b возьмите границы выбранного вами интервала. За текущее значение корня принимается значение середины интервала x1=(a+b)/2, точность расчета определяется шириной интервала ε = ½ |xi – xi-1|. В случае, если f(x1)·f(b) <0, то переопределите левую границу интервала а = х1, если f(x1)·f(a) <0 – правую b = х1.
a |
b |
x1=(a+b)/2 |
ε |
f(a) |
f(b) |
f(x1) |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
|
|
|
|
|
|
|
Расчет закончите при ε < 0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции в этой точке.
Уточнение корня методом хорд.
Задание 3: Рядом с полученной таблицей организуйте точно такую же, однако за текущее значение корня принимается следующее выражение:
.
a |
b |
x1 |
ε |
f(a) |
f(b) |
f(x1) |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
|
|
|
|
|
|
|
Переопределение границ отрезка осуществляется так же, как описано во 2-м задании. Расчет закончите при ε < 0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции в этой точке.
Уточнение корня методом Ньютона.
Задание 4: На этом же листе вашей книги организуйте третью таблицу, где в качестве начального значения х возьмите любое значение из выбранного вами интервала. Следующее значение корня определяется по формуле (4). Поскольку метод Ньютона работает не с отрезком [a, b], а с начальным приближением х0, то роль точности ε может выполнять расстояние между значениями корня на этой и предыдущей итерациями ∆x = |хk - хk-1|. Значение ∆x начинайте считать со второй итерации.
x |
∆x |
f(x) |
f'(x) |
[…] |
[…] |
[…] |
[…] |
|
|
|
|
Расчет закончите при ∆x <0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции в этой точке.
Посмотрите,
как изменится быстрота нахождения
корня, если, начиная со второй итерации,
значение производной заменить на ее
приближенное значение
.
Уточнение корня методом простой итерации.
Задание 5: На этом же листе вашей книги организуйте еще одну таблицу, где в качестве начального значения х возьмите то же значение, что и в методе Ньютона. Для определения следующего значения корня уравнение необходимо преобразовать к виду x=S(x).
Тогда xn = S(xn-1).
х |
f(x) |
∆x |
[…] |
[…] |
[…] |
|
|
|
Расчет закончите при ∆x <0,001. Запомните количество итераций, необходимое для выполнения искомой точности, запомните также полученное значение корня и значение функции.
Задание 6: Cравните точность и быстроту (количество итераций) нахождения корней данного уравнения с использованием каждого из исследованных вами четырех методов.