6. Теоремы о существовании мгновенных центров скоростей и ускорений.

6.2. Мгновенный центр скоростей.

Теорема 1. Пусть движение плоской фигуры в данный момент времени не является мгновенно поступательным. Тогда в этот момент времени существует и при чем единственная точка плоскости, связанной с движущейся плоской фигурой, скорость которой равна нулю. Скорости остальных точек этой плоскости таковы, какими они бы были при мгновенном вращении плоскости вокруг точки .

Доказательство. Для существования точки достаточно показать, что при уравнение

, (1)

где - произвольный полюс, может быть разрешено относительно вектора . С этой целью умножим обе части равенства (1) на вектор векторно слева. В результате получим

. (2)

В силу формулы

(3)

и условия из (2) (при ) выводим

.

Возьмем найденную точку за полюс. Тогда для произвольной точки плоской фигуры имеем

. (4)

В силу из последней формулы следует, что мгновенное распределение скоростей плоскости, связанной с движущейся плоской фигурой таково, как бы оно было при вращении этой плоскости относительно точки . Наконец, при выполнении условия теоремы двух различных точек с нулевыми скоростями существовать не может. Действительно, пусть , но . Тогда по формуле (4) в силу имеем

.

Полученное противоречие доказывает единственность точки . Теорема доказана.

Определение 2. Точка плоскости, связанной с плоской фигурой, имеющая в данный момент времени скорость, равную нулю, называется мгновенным центром скоростей.

В процессе движения мгновенный центр скоростей изменяет свое положение как в абсолютном пространстве (основной плоскости) так и в плоскости, связанной с движущейся плоской фигурой.

Определение 3. Геометрическое место мгновенных центров скоростей в абсолютной плоскости называется неподвижной центроидой, в подвижной – подвижной центроидой. При плоском движении тела подвижный центроид катится без проскальзывания по неподвижному центроиду, при этом мгновенный центр скоростей служит для них точкой контакта.

6.3. Мгновенный центр ускорений.

Теорема 2. Пусть в некоторый момент времени для твердого тела, совершающего плоское движение выполнено условие . Тогда в этот момент времени существует и при чем единственная точка плоскости, связанной с движущейся плоской фигурой, ускорение которой равно нулю.

Доказательство. Для существования точки достаточно показать, что при уравнение

, (1)

где - произвольный полюс, может быть разрешено относительно вектора . Сделаем это. В силу (2.3) имеем

.

С учетом последнего равенства перепишем (1)

. (2)

Если , то , тогда из (2) определяем и существование точки доказано. Пусть . Умножим векторно равенство (2) на вектор слева. Имеем

. (3)

В силу (2.3)

.

Подставим результат в (3)

Преобразуем последнее равенство с учетом (2)

.

Существование точки доказано. Допустим, что нашлась еще одна точка , для которой . Тогда из (2) выводим

.

Последнее равенство возможно лишь при нулевых левых и правых частях, так как они взаимно ортогональны. Отсюда , а это противоречит условию теоремы. Теорема доказана.