Задача 4
4.1. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.
Номер варианта |
Номер наблюдения (t = 1, 2 ..... 9) |
||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
1 |
10 |
14 |
21 |
24 |
33 |
41 |
44 |
47 |
49 |
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную
модель
,
параметры
которой оценить МНК (Y(t))
— расчетные,
смоделированные значения временного
ряда).
4. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
5. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение
1.Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе и на соответствующую трендовую модель.
Для выявления аномальных наблюдений воспользуемся методом Ирвина:
где среднеквадратическое
отклонение
рассчитываем с использованием формул:
;
.
Расчётные
значения
и т.д. сравниваются
с табличными значениями критерия Ирвина
,
и если оказывается больше табличных,
то соответствующее значение уt
уровня ряда считается аномальным. При
п=9 для уровня значимость
значение
критерия Ирвина равно 1,5. Все расчётные
значения представим в таблице:
Таблица 4.1
t |
|
|
( )2 |
|
|
1 |
10 |
-21,4 |
438,4 |
- |
- |
2 |
14 |
-17,4 |
286,9 |
4 |
0,27 |
3 |
21 |
-10,4 |
98,6 |
7 |
0,48 |
4 |
24 |
-7,4 |
48,0 |
3 |
0,20 |
5 |
33 |
1,6 |
4,0 |
9 |
0,61 |
6 |
41 |
9,6 |
100,9 |
8 |
0,54 |
7 |
44 |
12,6 |
170,2 |
3 |
0,20 |
8 |
47 |
15,6 |
257,5 |
3 |
0,20 |
9 |
49 |
17,6 |
325,8 |
4 |
0,27 |
∑ |
283 |
- |
1730,2 |
- |
- |
Отсюда
<
1,5, что означает данный временной ряд,
не содержит аномальных наблюдений.
Данные диаграммы рассеяния показывают, что аномальных наблюдений нет.
Диаграмма рассеяния
2. Построим линейную
модель:
,
где
Промежуточные расчёты параметров линейной модели приведём в таблице.
Таблица 4.2
t |
|
|
|
- |
|
|
|
1 |
10 |
-4 |
16 |
-21,4 |
85,8 |
10,24 |
-0,24 |
2 |
14 |
-3 |
9 |
-17,4 |
52,3 |
15,54 |
-1,54 |
3 |
21 |
-2 |
4 |
-10,4 |
20,9 |
20,84 |
0,16 |
4 |
24 |
-1 |
1 |
-7,4 |
7,4 |
26,14 |
-2,14 |
5 |
33 |
0 |
0 |
1,6 |
0,0 |
31,44 |
1,56 |
6 |
41 |
1 |
1 |
9,6 |
9,6 |
36,74 |
4,26 |
7 |
44 |
2 |
4 |
12,6 |
25,1 |
42,04 |
1,96 |
8 |
47 |
3 |
9 |
15,6 |
46,7 |
47,34 |
-0,34 |
9 |
49 |
4 |
16 |
17,6 |
70,2 |
52,64 |
-3,64 |
∑ |
283 |
- |
60 |
- |
318,0 |
283,0 |
- |
(
-
)
Таким образом,
линейная модель имеет вид:
.
Последовательно подставляя в модель
вместо фактора t его значения от 1 до n,
получаем расчётные значения уровней
:
=4,94+5,3·1=10,24
=4,94+5,3·2=15,54
Отклонения расчётных
значений от фактических наблюдений
находим по формуле:
=
-
(t=1,2,…..9).
4.Оценим адекватность построенных моделей
4>2
Неравенство выполняется, следовательно. Можно сделать вывод, что свойство случайности ряда остатков подтверждается.
Для проверки независимости уровней ряда остатков вычисляем значение критерия Дарбина-Уотса по формуле:
Расчёт представлен в таблице ниже. Критерий d=1,16, так как и попал в интервал (0,98-1,36), то по данному критерию нельзя сделать вывод о выполнении свойства независимости. Необходимо вычислить коэффициент автокорреляции первого порядка:
= 0,26
фактическое
значение больше табличного. Это означает,
что в ряду динамики имеется автокорреляция,
следовательно, модель по этому критерию
неадекватна. Соответствие ряда
остатков нормальному закону распределения
определяем при помощи R/S
критерия:
.
Размах вариации:
,
а среднее квадратическое отклонение
Следовательно, R/S=3,34. Это значение попадает в интервал между нижней и верхней границами табличных значений данного критерия (2,7-3,7). Следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.
Анализ ряда остатков
Проверяемое свойство |
Используемые статистики |
Граница |
|
Вывод |
|
|
наименование |
значение |
нижняя |
верхняя |
|
Независимость |
d-критерий Дарбина-Уотсона |
d=1,16 |
0,98 |
1,36 |
Нельзя сделать вывод по этому критерию [r(1)]>0,36 |
|
r(1) коэфициент автокорреляции |
-0,4 |
|
0,36 |
Неадекватна |
Случайность |
Критерий пиков поворотных точек |
4>2 |
2 |
|
Адекватна |
Нормальность |
R/Sкритерия |
2,9 |
2,7 |
3,7 |
Адекватна |
Вывод: модель статистически неадекватна |
|
|
|
||
5.Оценим
адекватность линейной модели
.
Модель является адекватной, если
математическое ожидание значений
остаточного ряда близко или равно нулю,
и если значения остаточного ряда
случайны, независимы и подчинены
нормальному закону распределения.
Сформулируем остаточную последовательность в таблице.
Таблица 4.3
t |
|
|
|
Точки пиков |
|
|
( )² |
|
1 |
10 |
10,24 |
-0,24 |
- |
0,06 |
|
|
2,40 |
2 |
14 |
15,54 |
-1,54 |
1 |
2,37 |
1,30 |
1,69 |
11,00 |
3 |
21 |
20,84 |
0,16 |
0 |
0,03 |
-1,70 |
2,89 |
0,76 |
4 |
24 |
26,14 |
-2,14 |
1 |
4,58 |
2,30 |
5,29 |
8,92 |
5 |
33 |
31,44 |
1,56 |
0 |
2,43 |
-3,70 |
13,69 |
4,73 |
6 |
41 |
36,74 |
4,26 |
1 |
18,15 |
-2,70 |
7,29 |
10,39 |
7 |
44 |
42,04 |
1,96 |
0 |
3,84 |
2,30 |
5,29 |
4,45 |
8 |
47 |
47,34 |
-0,34 |
0 |
0,12 |
2,30 |
5,29 |
0,72 |
9 |
49 |
52,64 |
-3,64 |
1 |
13,25 |
3,30 |
10,89 |
7,43 |
∑ |
283 |
283,0 |
- |
|
44,82 |
|
52,32 |
|
Проверку случайности проводим на основе критерия пиков (поворотных точек) их количество равно 4.
График остатков
линейной модели
6.Осуществим прогноз спроса на следующие две недели.
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Ширину доверительного интервала находим по формуле:
.
.
Коэффициент
является табличным значением 1 –
статистика Стьюдента. Доверительная
вероятность равна 70%,
=1,05
В таблице ниже сводим результаты прогнозных оценок линейной модели:
Таблица 4.7
Прогнозные оценки линейной модели
Время(n+k) |
U(k) |
Прогноз
|
Формула |
Верхняя граница |
Нижняя граница |
10 |
U(1)=3,27 |
57,94 |
Прогноз+1U(1) |
61,21 |
54,67 |
11 |
U(2)=3,46 |
63,24 |
Прогноз+1U(2) |
66,7 |
59,78 |
7.Фактические значения показателя. Результаты моделирования и прогнозирования представляем графически.
Линейная трендовая модель
График подбора линейной модели
Преобразовательный график подбора линейной модели
Результаты моделирования и прогнозирования
Данная работа скачена с сайта Банк рефератов http://www.vzfeiinfo.ru. ID работы: 22301