Лабораторная работа №51

1. Цель работы

Ознакомиться с методами решения задач матричных игр методами линейного программирования.

2. Выполнение работы

В корзине лежат два шара - белый и черный. Игроку требуется угадать сколько черных шаров лежит в корзине. Если игрок предлагает правильный ответ, то его выигрыш составляет 5. Если его ответ отличается от правильного на один или два, то выигрыш составляет 3 или 1 соответственно. Стоимость игры – 2.

Решение

Составляем платежную матрицу – матрицу выигрышей игрока 1.

	0	1	2	αi
0	3	1	-1	-1
1	1	3	1	1
2	-1	1	3	-1
βj	3	3	3	3/1

Матричная игра сводится к задаче линейного программирования

Прежде всего, проверим, не имеет ли платежная матрица седлового элемента.

Находим ; .

Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков находятся в области смешанных стратегий. Так как , то решением игры будут смешанные стратегии, а цена игры заключена в пределах . По матрице игры составляем задачи линейного программирования.

Для игрока 1

В результате решения этой задачи получим:

Значение игры

– вероятность применения стратегии № 1 (т.е. называть число 0)

– вероятность применения стратегии № 3 (т.е. называть число 2)

Оптимальные стратегии 1 и 3. Выигрыш игрока 1 будет составлять не менее 1, если он будет называть числа 0 и 2 с вероятностями 0,5.

Для игрока 2

В результате решения этой задачи получим:

Значение игры

– вероятность применения стратегии № 1 (т.е. класть 0 черных шаров)

– вероятность применения стратегии № 3 (т.е. класть 2 черных шара)

Оптимальные стратегии 1 и 3. Проигрыш игрока 2 будет составлять не более 1, если он будет класть 0 либо 2 черных шара с вероятностями 0,5.

3. Вывод

В лабораторной работе были изучены матричные игры. Матричные игры сводятся к задачам линейного программирования

2