Задание для самостоятельного решения

1. Найти глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значения) функции:

а) в прямоугольнике ;

б) в треугольнике, ограниченном прямыми х=1, у=0, х+у=6.

2. Найти точку, четырехугольника (0,0), (а, 0), (a, a), (0, 2а), сумма квадратов расстояний которой до его вершин имеет наименьшее значение.

4.24. Формулировка задачи линейного программирования

Рассмотрим задачу о рациональном использовании сырья, если имеется возможность выпускать продукцию двух видов П₁ и П₂, а сбыт продукции неограничен. Исходные данные задачи приведены в следующей таблице.

Вид сырья	Запас сырья в условных единицах	Расход сырья на единицу продукции
		П1	П2
1	19	2	3
II	13	2	1
III	15	0	3
IV	18	3	0
Доход от выпуска единицы продукции		7	5

В качестве целевой функции естественно выбрать доход

, (4.24.1)

где х_i — количество выпущенной продукции вида .

Выпуск продукции лимитируется запасами сырья, и поэтому с помощью таблицы имеет ограничения:

(4.24.2)

Кроме того, должны выполняться еще естественные ограничения:

. (4.24.3)

Таким образом, мы пришли к задаче об отыскании глобального максимума функции (4.24.1) на замкнутом множест­ве [A], определяемом неравенствами (4.24.2), (4.24.3).

Структура множества [А] в данном случае очень проста: это замкнутый многоугольник, показанный на рисунке (цифрами обозначены прямые линии, отвечающие отдельным ог­раничениям (4.24.2), (4.24.3) в порядке их следова­ния).

Линии уровня функции (4.24.1) являются параллелными прямыми 7х₁+5х₂=С

(показаны на рисунке пунктиром). Градиент этой функции постоянен:

grad у = (7; 5).

Отсюда ясно, что целевая функция имеет глобальный макси­мум в точке Р, расположенной на пересечении прямых

Находим координаты точки P(5, 3) и максимальный доход у_max= 50.

Задачи, подобные рассмотренной, возникают в экономике и различных областях техники. Поэтому приведем общую формулировку такого рода задач: найти глобальный экстремум линейной функции

, (4.24.4)

при ограничениях в виде линейных неравенств

(4.24.5)

для неотрицательных значений переменных

(4.24.6)

Сформулированная задача называется задачей линейного программирования.

Отметим свойства задач такого типа:

1) ограничения определяют в выпуклый замкнутый многогранник [А] (число его граней не превосходит т+п);

2) поверхности уровня в представляют собой парал­лельные друг другу гиперплоскости;

3) глобальный максимум достигается хотя бы в одной из вершин многогранника [А].

Последнее свойство лежит в основе так называемого симплекс-метода решения задачи линейного программирования. Идея симплекс-метода состоит в специальным обра­зом организуемом переборе значений целевой функции в вершинах многогранника [A]. Для большинства компьютеров имеются стандартные программы для использования симплекс-метода.