2.2. Определители второго и третьего порядков

При решении многих математических задач возникает необходимость в сопоставлении квадратной матрице некоторого числа, называемого определителем. В данном курсе отдается предпочтение такому порядку изложения теории, когда понятие определителя вводится формально, затем изучаются свойства определителей и, наконец, устанавливается их связь с решением конкретных задач (в частности, с решением систем линейных уравнений). Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

. (2.2.1)

Определителем (детерминантом)⁹ второго порядка матрицы (2.2.1) называется число

. (2.2.2)

Он обозначается следующим образом:

.

Часто определитель обозначают одной буквой .

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вводится с помощью формулы

, (2.2.3)

которая легко записывается с помощью правила треугольников:

(2.2.4)

Например,

.

2.3. Основные свойства определителей

При доказательстве свойств определителей будем рассматривать ради краткости в основном определители второго порядка. Доказательство тех же свойств для определителей третьего порядка рекомендуем провести самостоятельно.

С в о й с т в о 1. При транспонировании, т. е. при замене в определителе строк столбцами (с теми же номерами) величина определителя не изменяется:

. (2.3.1)

Вычисляя определители, стоящие в обеих частях (2.3.1), получаем верное равенство

.

Заметим, что свойство 1 выражает равноправие строк и столбцов определителя, состоящее в том, что любое свойство, справедливое для строк, будет верно и для столбцов.

С в о й с т в о 2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит свой знак:

. (2.3.2)

Доказывается свойство 2 непосредственным вычислением определителей, входящих в обе части равенства (2.3.2).

С в о й с т в о 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Это свойство является следствием свойства 2.

Для доказательства в определителе с двумя одинаковыми строками поменяем эти строки местами. От этого он, естественно, не изменится. Однако согласно свойству 2 знак его должен измениться на противоположный: . Отсюда следует, что .

С в о й с т в о 4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя

.

Действительно, в результате вычислений получаем очевидное равенство

С в о й с т в о 5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Для доказательства достаточно вынести, согласно свойству 4, за знак определителя множитель k. Тогда получим определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю (свойство 3).

С в о й с т в о 6. Имеет место формула

.

Доказательство выполняется очень просто:

.

С в о й с т в о 7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число:

Для доказательства используем свойства 6 и 5:

В качестве упражнения вычислите определители третьего порядка

a) б) в) ,

а затем «организуйте» в каждом из них строку или столбец, содержащий только один ненулевой элемент.