Лекция 6

При

, где- период решётки

Такая зависимость называется акустической ветвью дисперсионной кривой. Все значения повторяются вдоль цепочки атомов. Неэквивалентные значения могут быть лишь в 1 зоне Бриллюэна (;).

;;,

, при

, при

.

Если цепочка будет состоять из разных атомов (ионная цепочка), то кроме обычных колебаний возникают колебания одной подрешётки относительно другой. В этом случае дисперсионная формула будет иметь более сложный характер, а дисперсионная кривая будет содержать кроме акустической ещё и оптическую ветвь. В цепочке из mатомов возможны _______mстоячих волн с различными частотами .

Область малых kсоответствует спектральному диапазону длин волн, для которого годится макроскопическое рассмотрение звуковых колебаний.

, то

можно сделать вывод, что в области низких частот отсутствует дисперсия, т. е..

- фазовая скорость в монокристалле.

- групповая скорость в монокристалле.

;- для одномерного случая.

Где - плотность;- модуль Юнга.

В области больших kнаблюдается сильная дисперсия. В этом случае.

В общем случае в кристалле возникают три поляризации: т. е. продольные колебания, со скоростью и поперечные колебания со скоростью.

Для поперченных колебаний существуют две поляризации.

N- модуль упругости.

Динамика кристаллической решётки в трёхмерном пространстве.

Колебания в трёхмерном пространстве можно рассматривать с помощью классической теории, а затем учесть квантовые свойства колеблющихся частиц. Такой способ громоздкий, поэтому будем рассматривать колебательные процессы в трёхмерном пространстве как сумму 3. nгармонических асциляторов, гдеn- число узлов кристаллической решётки. Каждый такой асцилятор – это не один реальный атом, а одно из нормальных колебаний, в котором участвуют все атомы кристаллической решётки. Все атомы колеблются с одной и той же частотой, т.е. полное число мод (колебаний) = 3N. Экспериментальные данные показываем, что правильное описание тепловых колебаний в трёхмерном пространстве основывается на теории квантового гармонического асцилятора, а энергия

Энергия асцилятора будет описываться как сумма энергий по всем составляющим. Согласно теории Дебая квантовый характер тепловых колебаний проявляется при t^oниже некоторых, называемых температура Дебая.

Квантовые свойства тепловых колебаний в трёхмерных кристаллах рассматривается с помощью модель Фонона.

Фонон – квазичастица, т.е. физически она не существует. С помощью фонона мы рассматриваем колебания звуковой частицы кристалла. Они не являются структурным элементом трёхмерного кристалла, а с их помощью описывается передача тепловой энергии в кристалле. Фононы являются квазичастицами с целым спином. Такие частицы называются бозонами. Для системы, состоящей из бозонов характерно подчинением принципу тождественности, но она не подчиняется принципу запрета _____.

Такая система подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна.

- функция распределения частиц по энергии и температурам.

Классические системы подчиняются статистике Максвелла-Больцмана. Частицы в такой системе описываются при помощи функции распределения Максвелла-Больцмана.

Частицы с полуцелым спином ( ) подчиняются статистике Ферми-Дерака.

Согласно теории Дебая

Где - максимальная частота колебаний фонона.

Статистика фононного газа.

Из теории энергетической дисперсии известно

В трёхмерном кристалле возникает три поляризации:

одна продольная и две поперечных

Будем искать из условия нормировки:

;- концентрация.

Расчёт средней энергии тепловых колебаний фононов.

Средняя энергия тепловых колебаний фононы:

Поскольку нулевая энергия одного квантового гармонического асцилятора не равна 0, то нулевая энергия для системы асциляторов также не равна 0.

Нулевая энергия не зависит от температуры .

Поскольку теплоёмкость равна , то т вклад в теплоёмкость она не вносит.