7.4 Задачі для самостійного розв’язування

І РІВЕНЬ

1. Знайти момент інерції і момент імпульсу земної кулі відносно осі обертання.

2. Дві кулі однакового радіуса =5 см закріплені на кінцях невагомого стержня. Відстань між кулями =0,5 м. Маса кожної кулі =1 кг. Знайти:

а) момент інерції системи відносно осі, що проходить через середину стержня перпендикулярно до нього;

б) момент інерції системи відносно тієї ж осі, вважаючи кулі матеріальними точками, маси яких зосереджені в їх центрах:

в) відносну похибку , яку ми допускаємо при розрахунку моменту інерції системи, замінюючи величину на величину .

3. До обода однорідного диска радіуса =0,2 м прикладена дотична сила =98,1Н. При обертанні на диск діє момент сил тертя =98,1 Н м. Знайти масу диска, якщо відомо, що диск обертається з кутовим прискоренням =100 рад/с².

4. Однорідний стержень довжиною =1м і масою =0,5 кг обертається у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через середину стержня. З яким кутовим прискоренням обертається стержень, якщо на нього діє момент сил =98,1 мН м.

5. Однорідний диск радіуса =0,2 м і масою =0,5 кг обертається навколо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини. Залежність кутової швидкості обертання диска від часу задано рівнянням , де В=8 рад\с². Знайти дотичну силу , прикладену до обода диска. Тертям знехтувати.

6. Маховик, момент інерції якого =63,6 кг м2 обертається з кутовою швидкістю =31,4 рад/с. Знайти момент сил гальмування , під дією якого маховик зупиняється через =20с. Маховик вважати однорідним диском.

7. Дві гирі масами =2 кг і =1 кг з’єднані ниткою, перекинутою через блок масою =1 кг. Знайти прискорення , з яким рухаються гирі, і сили натягу і ниток, до яких підвішені гирі. Блок вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.

8. На барабан радіуса =0,5 м намотано шнур, до кінців якого прив’язано вантаж масою =10 кг. Знайти момент інерції барабана, якщо відомо, що вантаж опускається з прискоренням =2,04 м/с².

9. Дві гирі з різними масами з’єднані ниткою, перекинутою через блок, момент інерції якого =50 кг м² і радіус =20 см. Момент сил тертя блоку, що обертається, =98,1 Н м. Знайти різницю сил натягу нитки - по обидва боки блока, якщо відомо, що блок обертається з кутовим прискоренням =2,36 рад/с². Блок вважати однорідним диском.

10. Блок масою =1кг, рис. 7.12, закріплений на кінці стола. Гирі 1 і 2 однакової маси = =1 кг з’єднані ниткою, перекинутою через блок. Коефіцієнт тертя гирі 2 об стіл =0,1. Знайти прискорення , з яким рухаються гирі, і сили натягу і ниток. Блок вважати однорідним диском. Тертям у блоці знехтувати.

11. Рис. 7.12

    Диск масою =2кг котиться без ковзання по горизонтальній площині з швидкістю =4м/с. Знайти кінетичну енергію диска.

12. Куля діаметром =6 см і масою =0,25кг котиться без ковзання по горизонтальній площині з частотою обертання =4 об/с. Знайти кінетичну енергію кулі.

13. Обруч і диск однакової маси = котяться без ковзання з однією і тією ж швидкістю . Кінетична енергія обруча =4 Дж. Знайти кінетичну енергію диска.

14. Куля масою =1кг котиться без ковзання, вдаряється об стінку і відкочується від неї. Швидкість кулі до удару об стінку =10 см/с, після удару =8 см/с. Знайти кількість теплоти , що виділилась при ударі кулі об стінку.

15. Диск діаметром =60 см і масою =1кг обертається навколо осі, що проходить через центр перпендикулярно до його площини з частотою =20 об/с. Яку роботу необхідно виконати, щоб зупинити диск?

16. Кінетична енергія вала, що обертається з частотою =5 об/с, =60 Дж. Знайти момент імпульсу валу.

17. Хлопчик котить обруч по горизонтальній дорозі з швидкістю =7,2 км/год. На яку відстань може вкотитися обруч на гірку за рахунок його кінетичної енергії? Схил гірки складає 10 м на кожні 100 м шляху.

18. Рис. 7.13

    З якої найменшої висоти повинен з’їхати велосипедист, щоб по інерції (без тертя) проїхати доріжку, що має форму «мертвої петлі» радіусом =3м, і не відірватися від доріжки у верхній точці петлі, рис. 7.13? Маса велосипедиста разом з велосипедом =75 кг, причому на колеса припадає маса =3 кг. Колеса велосипеда вважати обручами.

19. Знайти лінійні прискорення центрів мас кулі, диска і обруча, що скочуються без ковзання з похилої площини. Кут нахилу площини =30⁰, початкова швидкість всіх тіл =0. Порівняти знайдені прискорення з прискоренням тіла, що ковзає з похилої площини при відсутності тертя.

20. Рис. 7.14

    Однорідний стержень довжиною =1м підвішений на горизонтальній осі, що проходить через верхній кінець стержня. На який кут потрібно відхилити стержень, щоб нижній кінець стержня при проходженні положення рівноваги мав швидкість =5м/с?

ІІ РІВЕНЬ

1. Рис. 7.15

   Масивний циліндр масою і радіусом обертається зі сталою кутовою швидкістю , рис. 7.14. Визначити величину сили тиску гальмівних колодок , якщо при коефіцієнті сили тертя ковзання циліндр зупиняється через час після початку гальмування. Коефіцієнт тертя ковзання вважати сталою величиною.

2. Рис. 7.16

   Циліндр (блок) закріплений на стержні . На блоці намотана тонка нерозтяжна невагома нитка з вантажем на кінці, рис. 7.15. Вантаж опускається і розкручує блок. Радіус блока , його маса , момент інерції маса вантажу . Не враховуючи сил тертя, визначити прискорення вантажу, що опускається , кутове прискорення блока, натяг нитки , натяг стержня .

3. Суцільний однорідний циліндр з двома намотаними на ньому нерозтяжними і невагомими нитками, кінці яких закріплені, обертаючись, опускається вниз, рис. 7.16. Визначити, не враховуючи сили тертя, прискорення руху точки центра мас циліндра.

4. Рис. 7.17

   До ведучого колеса автомобіля прикладений обертовий момент , рис. 7.17. Колесо рухається по горизонталі. Коефіцієнт тертя спокою коліс об поверхню . Радіус колеса , радіус інерції , маса , вага .Якій умові повинен задовольняти обертовий момент для того, щоб колесо котилося без ковзання? Тертя кочення не враховувати.

5. Рис. 7.18

   Однорідному диску, покладеному ребром на горизонтальну шорстку площину, надано поступальний рух з швидкістю паралельній до площини, рис. 7.18. Визначити швидкість руху центра диска в той момент, коли починається кочення без ковзання. Коефіцієнти тертя спокою і ковзання вважати рівними, тертя кочення не враховувати.

6. Рис. 7.19

   Однорідний циліндр радіуса скочується без ковзання з похилої площини з кутом до горизонту, рис. 7.19. Відомий коефіцієнт тертя кочення . Визначити прискорення руху центра мас циліндра. При якому значенні центр циліндра буде рухатись рівномірно, а циліндр рівномірно обертатися?

7. Рис. 7.20

   Два катки, скріплені стержнем, скочуються без ковзання з похилої площини з кутом до горизонту, рис. 7.20. Маси їх і радіуси однакові; моменти інерції і . Визначити:

1) кутове прискорення скочування катків;

Рис. 7.21

2) силу, що діє з боку стержня на каток, якщо каток з більшим моментом інерції рухається попереду і навпаки. Силу тертя кочення не враховувати.

8. Рис. 7.22

   Горизонтальна трубка ОА масою і довжиною разом з кулькою В масою , що знаходиться всередині трубки і прив’язаний ниткою, обертається за інерцією навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю , рис. 7.21. Нитку перерізають. Визначити кутову швидкість обертання трубки в момент, коли кулька вилітає з неї.

7.2.9. Суцільний однорідний циліндр з двома намотаними на ньому тонкими нерозтяжними і невагомими нитками, кінці яких закріплені, опускається вниз. Визначити без врахування сил тертя, прискорення руху центра мас циліндра, рис. 7.22. Задачу розв’язати, використовуючи закон збереження енергії.

10. Рис. 7.23

    Однорідний циліндр радіуса скочується без ковзання з похилої площини з кутом до горизонту, Рис. 7.23. Коефіцієнт кочення . Визначити прискорення руху центра мас циліндра. При якому значенні центр циліндра буде рухатись рівномірно, а циліндр рівномірно обертатися? Задачу розв’язати, використовуючи закон збереження енергії.

11. Рис. 7.24

    На абсолютно гладкій горизонтальній площині знаходиться тонке кільце масою і радіусом , рис. 7.24. По кільцю рухається жук (матеріальна точка) масою зі сталою відносною швидкістю . Визначити рух цієї системи на площині, якщо в початковий момент часу кільце і жук знаходились в стані спокою.

12. Рис. 7.25

    На горизонтальній площині лежить котушка ниток. З яким прискоренням буде рухатись вісь котушки, якщо тягнути за нитку з силою , рис. 7.25. Під яким кутом до горизонту повинна бути напрямлена сила для того, щоб котушка рухалась в бік натягнутої нитки? Визначити силу тертя між котушкою і площиною. Котушка повинна рухатись по площині без ковзання.

7.2.13. Вісь колеса автомобіля рухається горизонтально і прямолінійно. До осі колеса прикладена горизонтально напрямлена сила . Радіус колеса , радіус інерції , вага . Якій умові повинен задовольняти обертовий момент для того, щоб колесо котилося без ковзання? Тертя кочення не враховувати.

Рис. 7.26

7.2.14. Еліптичний маятник складається з тіла масою , яке може переміщатися поступально по гладкій горизонтальній площині, і вантажу , масою , закріпленого за допомогою стержня довжиною , рис. 7.26. В початковий момент стержень відхилений на кут від вертикалі і відпущений без початкової швидкості. Нехтуючи вагою стержня, визначити зміщення тіла , в залежності від кута відхилення стержня .

7.2.15. На горизонтальну вісь насаджено блок (однорідний диск), через який перекинута невагома нерозтяжна мотузка, на кінцях якої висять дві мавпи однакової ваги. В деякий момент одна з мавп почала підніматися по мотузці з відносною швидкістю . Визначити швидкість руху другої мавпи. Маса блока , маса кожної мавпи . Ковзання мотузки по блоку немає.

7.2.16. На вертикально поставлений гвинт радіуса надіта масивна гайка. Їй надається кутова швидкість такого напрямку, що гайка піднімається вгору. Не враховуючи сил тертя, визначити, на яку висоту підніметься гайка. Гайка має циліндричну форму, її зовнішній радіус рівний , крок гвинта рівний .

7.2.17. Визначте прискорення, з якими рухаються вздовж площини, що нахилена під кутом до горизонту, центри мас наступних тіл:

а) дошки, що ковзає з дуже малим тертям;

б) суцільного циліндра, що скочується з дуже малим тертям кочення;

в) дошки, покладеної на два циліндри. Маса дошки рівна масі кожного з циліндрів.

7.2.18. По тонкому стержню, що знаходиться в стані спокою на гладкому столі, в деякій точці здійснюють удар в горизонтальному напрямі, рис. 7.27.

Рис. 7.27

а) покажіть, що в момент удару стержень обертається навколо вертикальної осі, що проходить через точку , причому, якщо тертя мале, має місце співвідношення , де і - відстані точок і від ; - маса стержня; - момент інерції стержня відносно осі, що проходить через центр мас стержня .

б) Що відбудеться, якщо вдарити по стержню в точці ?

в) де буде проходити вісь обертання, якщо вдарити по самому кінцю стержня?

7.2.19. Вертикальний стовп висотою =5 м підпилюється при основі і падає на землю.

а) Визначте лінійну швидкість його верхнього кінця в момент удару об землю.

б) Яка точка стовпа буде в будь-який момент падіння мати ту саму швидкість, яку мало б тіло, падаючи з такої ж висоти, що і дана точка?

7.2.20. Горизонтальний диск обертається навколо вертикальної осі з кутовою швидкістю . Його момент інерції відносно осі обертання . На нього падає другий диск з моментом інерції відносно тієї ж осі і кутовою швидкістю. Площини дисків паралельні, центри знаходяться на одній вертикальній лінії. Нижня поверхня диска, що падає має шипи, які вгрузають у верхню поверхню нижнього диска і скріплюють диски в одне ціле.

а) Знайдіть кутову швидкість системи, що утворилася;

б) На скільки зміниться загальна кінетична енергія обох дисків після падіння другого диска?

в) Як пояснити зміну загальної кінетичної енергії дисків?

ІІІ РІВЕНЬ

1. Є тонкий однорідний стержень масою і довжиною . Знайти його момент інерції відносно осі, що проходить через:

а) його кінець перпендикулярно самому стержню;

б) його центр і складає кут зі стержнем.

2. Знайти момент інерції тонкої однорідної прямокутної пластинки відносно осі, що проходить через одну з вершин пластинки перпендикулярно до її площини, якщо сторони пластинки дорівнюють і , її маса .

3. Тонка однорідна пластинка масою =0,60 кг має форму рівнобедреного прямокутного трикутника. Знайти її момент інерції відносно осі, що співпадає з одним з катетів, довжина якого =200 мм.

4. Рис. 7.28

   Знайти моменти інерції:

а) мідного однорідного диска відносно його осі, якщо товщина диска =2,0 м і радіус =100 мм;

б) однорідного суцільного конуса відносно його осі, якщо маса конуса і радіус основі .

5. Однорідний диск радіуса має круглий отвір. Маса частини диска, що залишилася дорівнює , рис. 7.28. Знайти момент інерції такого диска відносно осі, перпендикулярної до площини диска, яка проходить:

а) через точку ;

б) через його центр мас.

6. Рис. 7.29

   На ступінчастий блок намотані в протилежних напрямках дві нитки, рис. 7.29. На кінець однієї нитки діють сталою слою , а до кінця другої нитки прикріплено вантаж масою . Відомі радіуси і блока і його момент інерції відносно осі обертання. Тертя відсутнє. Знайти кутове прискорення блока.

7. Кінці тонких ниток, щільно намотаних на вісь радіуса диска Максвелла, прикріплені до горизонтальної штанги. Коли диск розкручується, штангу піднімають так, що диск залишається весь час на одній і тій висоті. Маса диска з віссю , їх момент інерції відносно їх осі симетрії . Знайти прискорення штанги.

8. Горизонтально розташований тонкий однорідний стержень масою підвішений за кінці на двох вертикальних нитках. Знайти силу натягу однієї з ниток зразу після перепалювання другої нитки.

9. Рис. 30

   Однорідний суцільний циліндр радіуса розкрутили навколо його осі до кутової швидкості і потім помістили в кут, рис. 7.30. Коефіцієнт тертя між циліндром і стінками дорівнює . Скільки часу циліндр буде обертатися в цьому положенні?

10. Однорідна тонка квадратна пластинка з стороною і масою може вільно обертатися навколо нерухомої вертикальної осі, що співпадає з однією з її сторін. В центр пластинки по нормалі до неї пружно вдаряється кулька масою зі швидкістю . Знайти:

а) швидкість кульки зразу після удару;

б) горизонтальну складову результуючої сили, з якою вісь діє на пластинку після удару.

11. Людина масою стоїть на краю горизонтального однорідного диска масою і радіуса , який може вільно обертатися навколо нерухомої вертикальної осі, що проходить через його центр. В деякий момент людина почала рухатися по краю диска, здійснила переміщення на кут відносно диска і зупинилася. Нехтуючи розмірами людини, знайти кут, на який повернувся диск до моменту зупинки людини.

12. Два горизонтальних диски вільно обертаються навколо вертикальної осі, що проходить через їх центри. Моменти інерції дисків відносно цієї осі і , кутові швидкості і . Після падіння верхнього диска на нижній обидва диски внаслідок тертя між ними почали через деякий час обертатися як єдине ціле. Знайти:

а) кутову швидкість обертання дисків, яка встановилася після падіння;

б) роботу, яку виконали при цьому сили тертя.

13. Однорідний диск радіуса =5,0 см, що обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю =60 рад/с, падає у вертикальному положенні на горизонтальну шорстку поверхню і відскакує пів кутом =30⁰ до вертикалі вже не обертаючись. Знайти швидкість диска зразу після відскакування.

14. Рис. 7.31

    Однорідний стержень довжиною =110 см розташований під кутом =60⁰ до гладкої горизонтальної поверхні, на яку він спирається своїм вільним кінцем. Стержень без поштовху відпустили. Знайти швидкість верхнього кінця стержня безпосередньо перед падінням його на поверхню.

15. Система складається з двох однакових однорідних циліндрів, на які симетрично намотані дві легкі нитки. Знайти прискорення осі нижнього циліндра в процесі руху, Рис. 7.31.

16. На гладкій горизонтальній площині лежить дошка масою і на ній однорідна куля масою . До дошки приклали постійну горизонтальну силу . З якими прискореннями будуть рухатися дошка і центр кулі при відсутності ковзання між ними?

17. Однорідна куля радіуса скочується без ковзання з вершини сфери радіуса . Знайти кутову швидкість кулі після відривання від сфери. Початковою швидкістю кулі знехтувати.

18. Однорідний стержень, що падав у горизонтальному положенні з висоти , пружно вдарився одним кінцем об край масивної плити. Знайти швидкість центра стержня зразу після удару.

19. Дзиґа масою =0,50 кг, вісь якої нахилена під кутом =30⁰ до вертикалі, прецесіює під дією сили тяжіння. Момент інерції дзиги відносно її осі симетрії =2,0 г м², кутова швидкість обертання навколо цієї осі =350 рад/с, відстань від точки опори до центра мас дзиги =10 см. Знайти:

а) кутову швидкість прецесії дзиги;

б) модуль і напрям горизонтальної складової сили реакції, що діє на дзигу в точці опори.

20. Однорідна куля масою =5,0 кг і радіуса =6,0 см обертається з =1250 рад/с навколо горизонтальної осі, що проходить через її центр і закріпленої в підшипниках підставки. Відстань між підшипниками =15 см. Підставку повертають навколо вертикальної осі з =5,0 рад/с. Знайти модуль і напрям гіроскопічних сил.