3. Ограниченные и монотонные последовательности
Последовательность
называется ограниченной
снизу, если
существует вещественное число
,
что все члены последовательности
удовлетворяют неравенству
.
Последовательность
называется ограниченной
сверху, если
существует вещественное число
,
что все члены последовательности
удовлетворяют неравенству
.
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют вещественные числа и , что все члены последовательности удовлетворяют неравенству
.
Следующее определение является равносильным предыдущему определению.
Последовательность
называется ограниченной,
если существует вещественное число
,
что все члены последовательности
удовлетворяют неравенству
.
Последовательность называется неограниченной, если для любого вещественного числа найдется элемент последовательности , удовлетворяющий неравенству
.
Пример 3.1. Последовательность (пример 1.1.) является ограниченной снизу (найдите ), но не является ограниченной сверху.
Пример 3.2. Последовательность (пример 1.2.) является ограниченной и снизу и сверху (найдите и ).
Пример 3.3. Последовательность (пример 1.3.) является ограниченной сверху (найдите ), но не является ограниченной снизу.
Пример 3.4. Последовательность (пример 1.4.) не является ограниченной снизу и сверху.
Пример 3.5. Последовательность (пример 1.5.) является ограниченной и снизу и сверху (найдите и ).
Последовательность
называется монотонно
возрастающей
или неубывающей
и обозначается
,
если каждый последующий член этой
последовательности не меньше предыдущего:
или
.
Последовательность
называется монотонно
убывающей
или невозрастающей
и обозначается
,
если каждый последующий член этой
последовательности не больше предыдущего:
или
.
Последовательность
называется строго
монотонно возрастающей
и обозначается
,
если каждый последующий член этой
последовательности больше предыдущего:
или
.
Последовательность
называется строго
монотонно убывающей
и обозначается
,
если каждый последующий член этой
последовательности меньше предыдущего:
или
.
4. Сходящаяся последовательность. Предел последовательности
Последовательность
называется сходящейся,
если существует вещественное число
такое, что для любого
найдется число
(возможно не целое и зависящее от
),
что при выполнении условия
имеет место неравенство
.
При этом число
называется пределом
последовательности
и обозначается
.
Определение предела последовательности с помощью кванторов можно записать так:
.
Геометрическая
иллюстрация приведена на рис. 1. Если
число
является пределом последовательности
,
то для любого числа
вне промежутка
содержится лишь конечное количество
членов последовательности
.
На рис. 1 членам последовательности
соответствуют точки, а промежутке
– светлая полоса.
Рис. 1
Непосредственно из определения сходящейся последовательности, следует следующее утверждение.
Теорема 4.1. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Замечание 4.1. Из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Например, последовательность
(4.1)
является ограниченной, но она не является сходящейся. Однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 4.2 (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Для последовательности (4.1) любая подпоследовательность, у которой начиная с некоторого номера все члены равны 1 (или равны 2), является примером сходящейся подпоследовательности.