2.2.3. Достаточные условия для подобия свободных термических

течений

Для суждения о подобии двух термических свободных течений вместо (2.6) приходится рассматривать уравнение

(2.11)

в котором - сила плавучести (подъемная или опускная), действующая на жидкость (газ).

Согласно закону Архимеда эта сила для жидкости (газа) в пространстве единичного объема определяется следующим образом

(2.12)

где - ускорение внешнего поля (в частности, земное ускорение),d- отличие плотности веществав выделенном элементе пространства от значенийв его окрестности из-за наличия соответствующей разности температурdT.

Учитывая связь между плотностью и удельным объемом, преобразуем (2.12) следующим образом

(2.12)

Здесь - термический коэффициент объемного расширения вещества приp = const, так как процесс свободной конвекции, как правило, протекает в изобарных условиях (силав уравнении (2.11) отсутствует). Этот коэффициент для жидкостей определен экспериментально и сведения о его значениях сообщаются в справочном материале. Для идеального газа, когда справедливо уравнение состояния Менделеева−Клапейрона в форме

= RT,

имеем

При свободном движении сила инерции мала и характер течения определяется мерой отношения силы плавучести и силы вязкостного трения, равной

(2.13)

где T- характерная для процесса разность температур. В качестве таковой принимается разность температуры поверхностиT_Wи температуры жидкости (газа) на удалении от нее (теоретически на бесконечном удалении).

Нетрудно видеть, что при свободной конвекции не имеется соображений для назначения в (2.13) характерной скорости w₀- поле скоростей в этом процессе формируется таким образом, что величина скорости ни в одной точке пространства заведомо неизвестна.

Итак, для подобия распределений скоростей в двух термически свободных течениях достаточно равенства мер отношений и, составленных для «натуры» и «модели»:

(2.14)

Естественным образом возникает вопрос об исключении в (2.13), (2.14) неизвестной характерной скорости w₀. Для этого надо рассмотреть достаточные условия для подобия температурных распределений.

2.2.4. Достаточные условия для подобия распределений скорости

в вынужденных течениях с наложением

свободной термической конвекции

При вынужденном ламинарном режиме течения жидкости (газа) в трубах при больших разностях температур потока и омываемой им поверхности процессы теплообмена протекают таким образом, что формирующееся поле температуры и связанное с ним неоднородное поле плотности приводят к возникновению столь сильной свободной термической конвекции, влиянием которой на основное течение пренебречь недопустимо. В этом случае имеем гравитационно-вязкостное течение, уравнение движения которого таково:

или

Достаточным условием для подобия таких течений в “натуре” и “модели”, как было показано выше, является равенство вычисленных для них мер отношения важнейших сил:

и .

2.2.5. Достаточные условия для подобия температурных полей

в среде, движущейся вынужденно или свободно

Подобие температурных полей содержит в себе, прежде всего, требование подобия полей скорости, достаточным условием для которого при вынужденном движении является равенство вычисленных для “натуры” и “модели” критериев Рейнольдса , при свободном движении – равенство безразмерных комплексов, а при гравитационно-вязкостном течении – равенство критерия Рейнольдса и безразмерного комплекса.

Кроме того, для суждения о подобии температурных полей в двух сравниваемых вынужденных или свободных течениях надо вычислить для них меры отношения алгебраической суммы количества тепла Q_к, вносимого и выносимого движущейся средой в выделенный элемент пространства механизмом конвекции, к алгебраической сумме количества теплаQ_т, которое вносится и выносится механизмом молекулярной теплопроводности, т.е. для этого достаточно, чтобы выполнялось равенство

(2.15)

Рис. 2.3

На рис. 2.3 потоки Q_киQ_тпоказаны схематически. Для единичного объема при постоянных свойствах среды они равны соответственно

. (2.16)

Мера отношения Q_киQ_травна

(2.17)

где cи- объемная теплоемкость и коэффициент температуропроводности,характерная разность температур в потоке.

Тепловые потоки Q_киQ_т, естественно, должны входить в уравнение переноса тепла в движущейся среде (его называют также уравнением энергии или уравнением Фурье–Кирхгофа), ранее указанное в п. 2.1 и записываемое как

,

в левой части которого субстанциональная производная учитывает изменениеT_fв выделенном элементарном объеме dxdydz(рис. 2.3) в связи с непосредственным течением времени, а также в связи с тем, что за времяdпри прохождении через выделенный элементарный объем в общем случае меняются координаты центра масс единичного объема жидкости (газа) наdx, dy, dzсоответственно. Поэтому в рассматриваемом случае субстанциональная производная равна

(здесь учтено, что производные от координат по времени дают соответствующие проекции вектора скорости).

Безразмерный комплекс в правой части (2.17) является мерой отношения тепловых потоков, переносимых механизмом конвекции и теплопроводности, его величина определяет температурные поля в движущейся среде. Он называется критерием Пекле и обозначается Pe (Peclet):

Итак, для подобия распределения температуры в двух сравниваемых течениях достаточно, чтобы выполнялись равенства указанных выше безразмерных комплексов, обеспечивающих гидродинамическое подобие течений, и составленных для них критериев Пекле

Pe₁=Pe₂или. (2.18)

Выполняя элементарные преобразования, получаем также

, (2.18)

где безразмерное отношение называется критерием Прандтля и обозначаетсяPr(Prandtl) в честь уже упомянутого ученого Л. Прандтля.