2.2.2. Достаточные условия для подобия вынужденных течений

Они устанавливаются, основываясь на следующих рассуждениях.

На движущуюся вынужденно жидкость (газ), находящуюся в элементе пространства «натуры» или «модели», действуют сила тяжести , сила вязкостного трения и сила , связанная с наличием градиента давления вдоль потока. Векторная сумма этих сил является равнодействующей, а ее значение, взятое с противоположным знаком, называется силой инерции .

Согласно принципу Даламбера имеем для выделенного элемента пространства соотношение

, (2.6)

представляющее собой уравнение Навье–Стокса, записанное в векторах сил, действующих на движущуюся среду.

В безразмерной форме получаем вместо (2.6)

(2.6)

Ясно, что если в каждой паре сходственным образом расположенных точек пространства «натуры» и «модели» одноименные слагаемые левой части (2.6) совпадают друг с другом, то при выполнении необходимых условий этого достаточно, чтобы утверждать о подобии «натурного» и «модельного» течений, так как уравнения движения в форме (2.6) и условия однозначности их решения становятся одинаковыми для «натуры» и «модели».

В теории подобия доказывается, что достаточно сравнивать между собой не сами отношения указанных сил, а их меры.

Для вынужденного обтекания потоком пластины или при его течении в прямолинейном канале постоянного поперечного сечения влияние градиента давления отсутствует или незначительно и развитие процесса (формирование распределения скорости) определяется отношением силы инерции к силе вязкостного трения .

Вычислим меру отношения этих сил для частного случая стационарного течения среды с постоянными физическими свойствами. В этом случае силы и , действующие на жидкость или газ, находящиеся в единице объема, таковы:

(2.7)

Надо помнить, что операторы grad и действуют не на вектор , а на его проекцию на оси x, y и z соответственно.

В формуле (2.7)  и  - это соответственно плотность жидкости (газа) и коэффициент динамической вязкости, а оператор ( grad) таков:

Мера отношения обозначается как (O – первая буква латинского слова Ordo (порядок)).

Итак, имеем

(2.8)

В теории подобия показывается, что в качестве меры искомой величины f назначается какое-либо известное при постановке задачи ее характерное значение f₀, важное для развития явления. В качестве меры производных ... назначаются отношения и т.д., где x₀ - характерное известное значение аргумента x. Меры обязательно назначаются одинаковым образом для «натуры» и «модели». Меры для известных величин - в частности, свойств среды - не назначаются: они выбираются из справочного материала по важной для исследуемого процесса (характерной) переменной, например, по характерной температуре и др.

Назначим в качестве меры для известную скорость потока w₀ на входе в трубу, а в качестве меры для протяженностей x, y, z - ее диаметр d.

Тогда имеем вместо (2.8)

. (2.9)

Безразмерный комплекс в правой части (2.9) является мерой отношения силы инерции к силе вязкостного трения, его величина определяет характер вынужденного течения жидкости (газа). Он называется критерием Рейнольдса и обозначается Re (Reynolds):

или

где  = / - коэффициент кинематической вязкости.

Итак, для подобия распределения скоростей в двух безградиентных вынужденных течениях в каналах достаточно, чтобы выполнялось равенство критериев Рейнольдса, составленных для «натуры» и «модели»:

или (2.10)

Если обозначить характерный для потока размер через l₀ (в рассматриваемом случае l₀  d), то достаточное условие подобия двух вынужденных течений (2.10) принимает более общий вид

(2.10)