Определение изгибающих моментов от подвижной нагрузки (т)

Величина изгибающего момента вычисляется по формуле:

. (1)

Определим моменты от веса тележки в каждом из сечений 0,1l, 0,2l и т.д., с учетом того, что один из сосредоточенных грузов располагается над вершиной линии влияния, а второй занимает положение, указанное на рис.14 в.

кНм;

кНм;

кНм;

кНм;

кНм.

Наибольшие значения изгибающих моментов для сечений балки от Т показаны на рис. 14 г.

Определим изгибающие моменты от равномерно распределенной нагрузки.

Момент в сечении х определяется по формуле

. (2)

Тогда

кНм;

кНм;

кНм;

кНм;

кНм.

Значение М_q для сечений балки от q показано на рис. 14 д.

Вычислим суммарные величины моментов в сечениях от сосредоточенных сил и равномерной нагрузки (рис. 14 е) по формуле

. (3)

кНм;

кНм;

кНм;

кНм;

кНм.

Таким образом, расчетной величиной для балки является

М = 1880 кНм = 188000 кНсм.

Требуемый момент сопротивления балки для этого усилия

см³.

Построение линий влияния поперечной силы

Берем проекции сил на ось z.

У равнение равновесия левой части балки (рис. 15 а)

Рис. 15

; .

Уравнение справедливо на участке 0,1l  x  l.

При x = 0,1l Q_А = 0,9; при x = l Q_A = 0.

Уравнение равновесия правой части балки.

. Уравнение справедливо на участке 0 x  0,1l.

. При x = 0 Q_A = 0; при x = 0,1l Q_A = -0,1.

Строим линию влияния Q_A (рис. 14 ж).

Линии влияния поперечных сил в сечениях В, С, Д и К строятся аналогично.

Ординаты линий влияния Q:

в сечении x = 0 ордината Q₀ = 1;

в сечении А (x = 0,1l) ордината Q_А = 0,9;

в сечении В (x = 0,2l) ордината Q_В = 0,8;

в сечении С (x = 0,3l) ордината Q_С = 0,7;

в сечении Д (x = 0,4l) ордината Q_Д = 0,6;

в сечении К (x = 0,5l) ордината Q_К = 0,5.

Определим расчетные усилия в каждом из указанных сечений с учетом того, что одна из сосредоточенных сил располагается над вершиной линий влияния (рис. 14 ж).

Поперечная сила от сосредоточенных сил определяется по формуле

. (4)

Тогда

кН;

кН;

кН;

кН;

кН;

кН.

Значения Q от Т приведены на рис. 14 з.

Поперечная сила от действия распределенной нагрузки q в сечениях определяется по формуле:

. (5)

;

;

;

;

;

.

Значения Q от q приведены на рис. 14 и.

Расчетные значения поперечных сил от сосредоточенных и равномерно распределенных нагрузок определяются по формуле

. (6)

Q_0 = Q_P0 +Q_q0 = 76,6 + 240 = 316,6 кН;

Q_А = Q_PА +Q_qА = 68,6 + 192 = 260,6 кН;

Q_в = Q_Pв +Q_qв = 60,6 + 144 = 204,6 кН;

Q_с = Q_Pс +Q_qс = 52,6 + 96 = 148,6 кН;

Q_д = Q_Pд +Q_qд = 44,6 + 48 = 92,6 кН;

Q_к = Q_Pк +Q_qк = 36,6 + 0 = 36,6 кН.

Значение Q_ приведены на рис. 14 к.

Расчетной величиной для определения касательных напряжений  в середине пролета является поперечная сила, равная 36,6 кН.

2.4Использование линий влияния для определения усилий в заданном сечении от системы сосредоточенных и распределенных неподвижных нагрузок

Пусть на сооружение действует нагрузка, состоящая из нескольких параллельных сосредоточенных сил Р₁, Р₂, Р_n и распределенной нагрузки с интенсивностью q.

Требуется определить влияние этой нагрузки на некоторую величину Z (это может быть изгибающий момент М, поперечная сила Q или продольное усилие N), для которой линия влияния известна (рис. 16 б).

Рис. 16

Ординаты линии влияния у₁, у₂, у_n выражают величину усилия в исследуемом сечении от единичного груза, стоящего над соответствующей ординатой.

Если над данной ординатой у₁ стоит не единичный груз, а груз Р₁, то усилие в исследуемом сечении от груза Р₁ будет у₁Р₁, от груза Р₂ – у₂Р₂, от груза Р_n – у_nР_n. Подобные рассуждения справедливы для любого количества сосредоточенных сил.

Распределенную нагрузку можно представить как совокупность элементарных сосредоточенных сил qdx. Каждая элементарная сила вызывает в исследуемом сечении усилие у_хqdx. Для равномерно распределенной нагрузки q = const, а для треугольной распределенной нагрузки интенсивность ее зависит от x.

Общее усилие в исследуемом сечении от любой системы нагрузок равно сумме усилий от отдельных сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, т.е.

, (7)

где .

Учитывая, что q = const, а ,

,

где  – площадь, ограниченная линией влияния и расположенная под нагрузкой (на рис. 16 б заштрихована).

В большинстве случаев можно пользоваться формулой с двумя первыми членами, так как в практике редко встречаются нагрузки, распределенные по сложному закону:

, (8)

где n и m – количество сосредоточенных сил и распределенных нагрузок.

Примечания:

- если направление нагрузки совпадает с направлением единичного груза, от которого построена линия влияния, то соответствующее слагаемое записывается в формулу (8) со знаком «плюс». Если эти направления противоположны друг другу, то соответствующее слагаемое записывается со знаком «минус»;

- ординаты линии влияния у_i записываются со своими знаками;

- если площадь  состоит из разных участков с разными знаками, то под величиной  понимается алгебраическая сумма площадей этих участков;

- формула (8) применяется только в тех случаях, когда расчетная схема конструкции допускает применение принципа независимости действия сил (на основании принципа независимости сил влияние всей совокупности сил будет равно: ).

Пример 1. Определить с помощью линий влияния изгибающий момент посредине пролета балки от системы нагрузок (рис. 17).

Рис. 17

Решение. Строим линию влияния М_{а =2} для сечения посредине пролета. Под левой опорой откладываем a = 2 м. Ординаты под сосредоточенными грузами определяем из подобия треугольников: у₁ = -0,5 м; у₂ = -1,0 м; у₃ = 0,5 м. Находим площади:

; .

Общее усилие .

Изгибающий момент

тсм.

Пример 2. У балки, изображенной на рис. 18, найти поперечную силу в сечении a = 1 м с помощью линии влияния.

Решение. Строим линию влияния поперечной силы Q_а=1 для сечения a = 1 м (рис. 18). Определяем величины ординат: ; ; .

Находим площади ; .

Рис. 18

Поперечная сила

тсм.