Линии влияния изгибающих моментов

Изгибающий момент в сечении С.

Поставим сначала единичный груз слева от сечения С, т.е. примем x = a. Тогда изгибающий момент в правой части балки выразится формулой

.

Эта формула действительна в пределах 0  x  a.

При x = 0 М_С = 0; при x = a .

Когда единичный груз стоит справа от сечения С, то уравнение изгибающего момента в левой части балки примет вид

.

Пределы для этого уравнения: a  x  l.

При x = a ; при x = l М_С = 0.

Линия влияния М_С состоит из двух прямых, имеющих нулевые точки под опорами, и продолжения которых отсекают на опорных вертикалях отрезки a и b.

Очертание линии влияния М_С указывает на следующее: когда единичный груз передвигается по пролету АВ от опоры А к опоре В, то момент сначала растет от нуля, достигает наибольшего значения в сечении С, и затем снова уменьшается, обращаясь в нуль при проходе через правую опору. При расположении груза на консолях момент М_С имеет отрицательный знак и растет по абсолютной величине по мере удаления груза от опоры.

Линия влияния М_Д для сечения Д, расположенного на консоли, имеет вид прямой, нулевая точка которой расположена под сечением Д (построение линии влияния М_Д см. на рис. 12 б).

Рис. 13

Линии влияния поперечных сил в сечении с

Порядок построения линии влияния Q_С аналогичен построению линии влияния на рис. 9 в. Различие состоит в том, что на рис. 13 в правый и левый участки линий влияния нужно продолжить за опоры до конца консолей.

Под самым сечением С линия влияния Q_С претерпевает разрыв, причем величина уступа равна единице. Ветви линий влияния параллельны друг другу.

Построение линий влияния поперечных сил Q_Д и Q_{А(слева)} аналогично построению линий влияния, приведенных на рис. 11 б и 12 б.

Линия влияния Q_{A(справа)} относится к сечению, расположенному близко к опоре А, но справа от нее. Пока груз находится справа от этого сечения, поперечная сила в нем равна опорной реакции R_А, поэтому соответствующий участок линии влияния ничем не отличается от линии влияния R_A. Когда же груз находится на консоли, то поперечная сила равна и противоположна реакции R_B. Итак, линия влияния состоит из двух параллельных прямых, причем под опорой А получается уступ, равный единице.

2.3Пример построения линий влияния для балки

Требуется разработать конструкцию сварной балки пролетом l = 24 м со свободно опертыми концами. Балка нагружена равномерной нагрузкой от собственного веса q = 2 кН/м и двумя сосредоточенными грузами Т = 40 кН (вес тележки с грузом), могущими передвигаться по балке. Расстояние между осями тележки d=2 м; материал – сталь Ст3; допускаемое напряжение []_Р = 16 кН/см² (рис. 12 а).

Расчет балки начнем с определения опорных реакций. Для определения опорных реакций используем уравнения равновесия балки (рис. 14 б):

; .

Отсюда ; .

При x = 0 R₀ = 1; R_N = 0. При x = l R₀ = 0; R_N = 1.

Затем построим линии влияния опорных реакций и изгибающих моментов с тем, чтобы знать их максимально возможные значения в разных сечениях балки (рис. 14 в).

Для построения линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил разбиваем балку на участки длиной, равной 0,1 l, затем мысленно разрезаем ее на две части по рассматриваемым сечениям и составляем уравнения равновесия каждой части.

Уравнение равновесия левой части балки.

, уравнение справедливо на участке 0,1l  x  l.

Тогда .

При ; при x = l М_А = 0.

Уравнение равновесия правой части балки.

, уравнение справедливо на участке 0  x  0,1l;

Тогда .

При x = 0 М_А = 0; при x = 0,1l .

Строим линию влияния М_А (рис. 14 в).

M_ кНм

Q_{K }

Рис. 14

Линии влияния изгибающих моментов в сечениях В, С, Д и К строятся аналогично. Максимальные ординаты линий влияния для всех сечений указаны на рис. 14 в.