2.Балки

2.1Общие сведения о балках

Балками называют элементы конструкции, которые перекрывают два или более пролетов и проходят через свои опоры, не прерываясь нигде шарнирами или разрезами. Они работают в основном на поперечный изгиб.

При конструировании балок принимаются меры к тому, чтобы они не могли отделяться от своих опор. Свободная укладка балок на опоры допускается только в тех случаях, когда имеется уверенность, что балка, прогибаясь, будет находиться в контакте со всеми своими опорами и не будет отделяться ни от одной.

Балки входят в состав рам различного назначения (вагонов, кранов, станин, каркасов зданий), перекрытий, мостов и других металлических конструкций и машин.

При проектировании и расчете балок используются линии влияния опорных реакций, поперечных сил и изгибающих моментов в их поперечных сечениях.

Примем следующие правила знаков этих усилий.

Опорные реакции будем считать положительными, если они направлены вверх (рис. 6 а).

Изгибающий момент М в сечении будем считать положительным, если он вызывает сжатие в верхних волокнах балки (рис. 6 а), и отрицательным, если растягиваются верхние волокна балки (рис. 6 б).

Поперечной, или перерезывающей силой, называется сумма проекций всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на нормаль к оси стержня в этом сечении.

Поперечную силу Q в сечении будем считать положительной, если ее векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой стрелке (рис. 6).

Рис. 6

2.2Линии влияния усилий для балки

2.2.1Линии влияния опорных реакций простой балки (без консоли)

Выберем систему координат: начало координат в точке А (рис. 7), ось х, определяющую положение единичного груза, направим вправо, ось у (R) ординат линии влияния – вверх.

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

Рис. 7

Поставим единичный груз на расстояние x от левой опоры (единичный груз может занимать любое положение от x = 0 до x =l ).

Считая единичный груз неподвижным в произвольном положении, определим опорные реакции, для чего используем уравнения равновесия всей балки:

, отсюда .

, отсюда .

Эти выражения представляют собой линии влияния опорных реакций и балки, справедливые при 0  x  l.

Каждое из вышеуказанных уравнений содержит переменную x в первой степени, и поэтому является уравнением прямой.

Для построения этих прямых достаточно найти на каждой из них по две точки. При x = 0 получается = 1, = 0; при x =1: = 0, = 1. Обе прямые построены на рис. 7. Каждая из прямых показывает, что реакция той или иной опоры равна единице, когда единичный груз стоит над этой опорой, и уменьшается по линейному закону до нуля, когда груз приближается к противоположной опоре.

2.2.2Линии влияния опорных реакций для двухконсольной балки

На рис. 8 показаны различные возможные положения единичной силы Р=1.

⁰

R⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

⁰

Рис. 8

В данном случае, как и в предыдущем примере для балки без консолей, уравнение линии влияния опорных реакций получается из уравнений равновесия всей балки. Благодаря непрерывности балки и изменения абсциссы точки приложения единичного груза получится одно и то же уравнение независимо от того, находится ли единичный груз между опорами (как и в предыдущем примере) или на консолях.

В этом легко убедиться, рассмотрев уравнения равновесия балки при трех произвольных положениях единичного груза и учитывая при этом высказанные выше соображения относительно момента единичной силы при составлении уравнения равновесия.

Например, для линии влияния опорной реакции R_A будем иметь при начале координат в точке А (рис. 8 а) при расположении единичного груза на левой консоли

, отсюда ;

при расположении единичного груза между опорами балки

, отсюда ;

при расположении единичного груза на правой консоли балки

, отсюда .

Таким образом, линия влияния опорной реакции описывается одним и тем же уравнением на протяжении всей балки с консолями и справедливым при -m  х  (l + m), т.е. она изображается той же прямой, что и линия влияния для балки без консолей, но продолжаемой за опорами до конца консолей.

Аналогично получится и для линии влияния реакции .

Вид уравнения этой прямой естественно будет зависеть от выбранной системы координат.

Примем начало координат в точке 0 (рис. 8 б) и рассмотрим линию влияния реакции .

Уравнение равновесия балки записывается в виде (единичный груз между опорами):

Отсюда получаем уравнение линии влияния реакции : , справедливое (как показано выше) на всем протяжении балки, т.е. при 0  x  (m+l+m).

При x ₁ = m получим = 1.

При x ₁ = m + l получим = 0.

Как видим, получена та же самая прямая, что и при начале координат в точке А.

Аналогично получим уравнение для линии влияния R_B:

.

При x ₁ = m R_B = 0; при x ₁ = m + l R_B = 1.

Линии влияния опорных реакций с консолями показаны на рис. 8 в.