Методичні вказівки до виконання завдання Складання системи рівнянь за законами Кирхгофа

Система рівнянь, складена за законами Кирхгофа, повинна містити стільки рівнянь, скільки невідомих струмів потрібно визначити.

Кількість рівнянь по I і II законах Кирхгофа визначається так само, як і при розрахунку кола постійного струму.

Перш, ніж становити рівняння, необхідно задатися напрямками струмів у гілках і направленими обходу контурів.

Н априклад, задана електричне коло, що складається із трьох гілок, з'єднаних двома вузлами:

Мал..2-21

Отже, система рівнянь, складених за законами Кирхгофа, повинна містити три рівняння, з них одне-I за законом, і два - по II законі.

Для заданої схеми, з урахуванням обраних напрямків струмів у гілках і напрямків обходу контурів, ці рівняння мають вигляд:

i ₁-i₂-i₃=0 - для вузла «а»

i₁ R₁+L₁ +i₂R₂+L₂ =e - для першого контуру

- i₂R₂ - L₂ + + L₃ =0 - для другого контуру

Для цієї ж схеми складемо рівняння в символічній формі:

Тут X_L1, X_L2, X_L3, X_C3 - комплексні реактивні опори.

Розрахунок струмів у гілках

Розрахувати струми в гілках можна тими ж способами, які застосовувалися при розрахунках кіл постійного струму.

Якщо застосувати метод контурних струмів, то для заданого кола треба скласти систему із двох рівнянь:

_к1 Z₁₁ - _к2 Z₁₂=

- _к1 Z₂₁+ _к2 Z₂₂ =0

де Z₁₁= ( R₁ +R₂ ) +j(x₁ +x₂ ) - повний комплексний опір I контуру

Z₁₂ = Z₂₁ = R₂+jX_L2 - повний комплексний опір гілкі, загальної для

обох контурів

Z₂₂ =(R₂+ R₃) +j(x₂ +x₃ - x₃ )- повний комплексний опір II контуру

.

Вирішивши систему, знайдемо контурні струми _к1 і _к2 , після чого визначимо шукані струми в гілках:

₁ = _к1

₂ = _к1 - _к2

₃ = _к2

При розрахунку методом двох вузлів спочатку визначається напруга між вузлами «а» і «б», а потім за законом Ома - струми в гілках.

Напруга між вузлами U_аб =

Де y₁, y₂, y₃ - повні комплексні провідності гілок

y₁ = = ; y₂ = = ; y₃ = = ;

Струми в гілках: ₁ = ;

₂ = ;

₃ =

Приклад розрахунку

Для заданого електричного кола(мал. 2-22) визначити комплекси діючих значень струмів у всіх гілках, скориставшись одним з методів розрахунку лінійних електричних кіл.

Вихідні дані:

L₂ =127,6мГн; С₁ =106мкФ; C₂ =159мкФ; R₃ =10Ом;

f =50Гц ; e₁´ =99sin( ωt+340º)В; e₂´´=179cos( ωt-90º)В

Мал.2-22

Тому що у завданні потрібно визначити комплекси струмів у гілках, то розрахунок будемо робити в символічній формі.

1.Кутова частота ω=2πf=2*3,14*50=314с^-1

2.Комплексні реактивні опори гілок

Х_С1 = -j = -j = -j30 = 30 e-j^90º Ом

Х_С2 = -j = -j = -j20 = 20e ^-j90º Ом

X_L2=j ωL=j314*127* 10-3 =j40=40 e ^j90º Ом

Повні комплексні опори гілок

Z₁ = Х_С1 =-j30 = 30e^-j90º Ом

Z₂ = X_L2 + Х_С2 = j ωL - j =j(40-20)=j20 = 20e ^j90º Ом

Z₃ =R₃ =10 Ом

3.Комплекси діючих значень ЕРС

e₁´ =99sin( ωt+340˚) = 99sin(ωt-20˚) В - миттєве значення ЕРС

діюче значення цієї ЕРС = = =70 В

комплексне діюче значення =70e^j340º =70 e -^j20º =65, 8-j24 В

e₂´´=179cos( ωt- 90º) = 179sin(ωt -90º +90º) =179sinωt B- миттєве значення ЕРС

діюче значення цієї ЕРС = = =126,6 В

комплексне діюче значення =126,6e ^{j 0º} = 126,6 В

4. Розрахунок струмів у гілках

4.1Метод контурних струмів

Задавшись напрямками струмів у гілках і напрямками обходу контурів, складемо рівняння по II закону Кирхгофа.

Мал.2-23

_к1 Z₁₁ - _к2 Z₁₂= -

- _к1 Z₂₁+ _к2 Z₂₂ =

где Z₁₁ =X_C1+X_C2+X_L2 =-j30-j20+ j40 = -j10 = 10e ^-j90º Ом

Z₂₂ =R₃ +X_C2+X_L2 =10-j20+ j40=10+j40 =22,36e ^j63,4º Ом

Z₁₂=Z₂₁= X_C2+X_L2 =-j20+ j40=j20=20e ^j90º

Підставивши числові коефіцієнти, одержимо систему рівнянь:

_к1(-j10) - _к2( j20)= 65, 8-j24 – 126,6

- _к1 (j20)+ _к2 (10+j20) =126,6

У результаті рішення системи отримана відповідь

_к1 = - 0,486 + j 1,7 А

_к2 = 1,44 - j 3,85 А

Струми в гілках

₁ = _к1 =- 0,486 + j 1,7 =1,768e ^j106º А

₂ = _к2 - _к1 =1,44 - j 3,85 –(- 0,486 + j 1,7) =1,916-j 5,55=5,87e ^{- j71º} А

₃ = - _к2 = - 1,44 + j 3,85 =4,1 e ^j111º А

Для перевірки підставимо отримані відповіді в рівняння по I закону Кирхгофа

(- 0,486 + j 1,7)+(1,916-j 5,55)+( - 1,44 + j 3,85)=0

4.2Метод двох вузлів

Напруга між вузлами «а» і «b»

U_аb =

Где y₁ = = j 0,033 Сим

y₂ = = -j 0,05 Сим

y₃ = = 0,1 Сим

Знаки «-» у чисельнику означають, що ЕРС джерел спрямовані від вузла «а».

_аb = = -14,5 + j38,75 В

Струми в гілках

₁ =( _аb + )y₁ =(-14,5 + j38,75 +65,8-j24) j 0,033 =-0,487+j1,7 А

₂ = ( _аb + )y₂ =(-14,5 + j38,75 -126,6)(-j0,05)= 1,937-j 5,575 А

₃ = _аb y₃ =(-14,5 + j38,75)0,1= -1,45+j3,876 А

5.Показання ватметра

У заданій схемі ватметр включений у третю гілку – його котушка напруги включена на напругу _аb , а по струмовій котушці протікає струм _3.

Так як ватметр вимірює активну потужність, то завдання зводиться до визначення активної потужності ділянки.

а)для визначення показань ватметра першим способом, необхідно обчислити повну комплексну потужність ділянки

=(-14,5 + j38,75)*( -1, 45-j3,876)=170 +j0 ВА

де - сполучений комплекс струму .Відрізняється від комплексу знаком перед мнимою частиною.

Дійсна частина повної комплексної потужності - це активна потужність:

P= Re ( ) =170 Вт

б)активна потужність кола визначається також по формулі

P=U_аb I₃ cosφ

де U_аb -діюче значення напруги, I₃ - діюче значення струму,

φ-кут фазового зсуву між напругою й струмом.

U_аb = =41,4 В Ψ_U = arctg = - 69,5º

I₃ = =4,11 A Ψ_I = arctg = - 69,5º

φ = Ψ_U - Ψ_I = -69,5º- (-69,5˚)=0

Т.ч. показання ватметра

P = U_аb I₃ cosφ =41,4*4,11*cos 0 =170 Вт

6.Розрахунок і побудова топографічної діаграми

Для побудови топографічної діаграми вибирається один з контурів електричного кола, одна крапка контуру заземлюється, і розраховуються потенціали інших крапок у порядку їхнього розташування в контурі.

Побудуємо топографічну діаграму для I контуру.

Мал.2-24

Для побудови топографічної діаграми обраного контуру(мал.2-24) необхідно розрахувати потенціали крапок a,c,b,d,e.

Т.к. крапка «а» заземлена, її потенціал дорівнює нулю:

φ_а =0

φ_c = φ_а + = 0 + 65, 8-j 24 = 65, 8-j24 B

φ_b = φ_c – _C1 = φ_b – = 65, 8-8- j24 –(-0,487+j1,7)( -j30) = 15 - j 38,6 B

φ_d = φ_b – = 15 - j 38,6 –126,6 = -111 -j 38,6 B

φ_e = φ_d + _{L 2} = φ_d + = -111 -j 38,6 +(1, 937-j 5,575) j40 = 112 +j 38,9 B

φ_a = φ_e + _{C 2} = φ_e + =112 +j 38,9 +(1, 937-j 5,575)( -j20) =0,5+j0,16≈0

+

+j

Завдання 3

Електричні кола трифазного струму

На мал. 3-1-3-20 приведені схеми трифазних кіл. У кожній з них є трифазний генератор (що створює трифазну симетричну синусоїдальну систему ЕРС) і симетричне навантаження. Значення діючого значення ЕРС фази генератора , періоду Т, параметрів наведено в таблиці 3. Початкову фазу ЕРС прийняти нульовою. Потрібно визначити струм в кожної фазі, лінійну напругу генератора, фазну та лінійну напругу навантаження, потужність, яка виробляється генератором та витрачається в навантаженні. Побудувати векторну діаграму

Вказівки:

а) опори обмоток генератора вважати рівними нулю;

б) для варіантів, в яких навантаження з’єднане трикутником, рекомендується при розрахунку перетворити її в зірку.

Мал.3-1

Мал.3-2

Мал.3-3

Мал.3-4

Мал.3-5

b

Мал. 5-26

Мал.3-8

Мал.3-9

Мал.3-10

Мал.3-12

Мал.3-11

Мал.3-14

Мал.3-13

Мал.3-15

Мал.3-16

Мал.3-18

Мал.3-17

Мал.3-19

Мал.3-20

Таблиця3

варіант	Номер схеми	EAm,B	T,c	L1, мГн	С1, мкФ		С2, мкФ		R1, Ом		R2, Ом
1	3-1	100	0,01	14,86	183,8		-		4,33		8,66
2	3-2	80	0,01	12,19	398		91,9		-		17,32
3	3-3	60	0,01	3,18	265,2		-		7,66		2
4	3-4	40	0,01	23,8	79,6		-		25,98		-
5	3-5	20	0,01	11,94	53		-		4,33		-
6	3-6	90	0,01	71,65	79,6		-		8,66		-
7	3-7	70	0,01	27,58	116,5		-		17,32		-
8	3-8	50	0,01	5,82	91,8		-		17,32		-
9	3-9	30	0,01	15,92	318,4		-		17,32		-
10	3-10	10	0,01	23,8	140,4		91,9		17,32		-
11	3-11	200	0,01	14,86	183,8		-		4,33		8,66
12	3-12	160	0,01	12,49	398		91,9		-		17,32
13	3-13	120	0,01	3,18	265,5		-		7,66		2
14	3-14	80	0,01	23,8	26,5		-		26		-
15	3-15	40	0,01	11,94	637		53		8,66		-
16	3-16	180	0,01	71,65	79,6		-		26		-
17	3-17	140	0,01	27,58	116,5		-		17,32		-
18	3-18	100	0,01	5,82	91,8		-		17,32		-
19	3-19	60	0,01	15,92	318,4		-		17,32		-
20	3-20	20	0,01	23,8	140,4		91,9		17,32		-
21	3-1	100	0,015	22,32	276		-		4,33		8,66
22	3-2	80	0,015	18,33	598		138		-		17,32
23	3-3	60	0,015	4,78	398		-		7,66		2
24	3-4	40	0,015	35,88	119,6		-		25,98		-
25	3-5	20	0,015	17,94	79,7		-		4,33		-
26	3-6	90	0,015	107,6	119,6		-		8,66		-
27	3-7	70	0,015	41,4	175,1		-		17,32		-
28	3-8	50	0,015	8,75	138		-		17,32		-
29	3-9	30	0,015	23,92	478,5		-		17,32		-
30	3-10	10	0,015	35,88	210,9		138		17,32		-
31	3-11	200	0,015	22,32	276		-		4,33		8,66
32	3-12	160	0,015	18,33	598		138		-		17,32
33	3-13	120	0,015	4,78	398		-		7,66		2
34	3-14	80	0,015	35,88	39,8		-		26		-
35	3-15	40	0,015	17,94	957		79,7		8,66		-
36	3-16	180	0,015	107,65		119,6		-		26		-
37	3-17	140	0,015	41,4		175,1		-		17,32		-
38	3-18	100	0,015	8,75		138		-		17,32		-
39	3-19	60	0,015	23,92		478,5		-		17,32		-
40	3-20	20	0,015	35,88		210,9		138		17,32		-
41	3-1	100	0,02	29,71		367,5		-		4,33		8,66
42	3-2	80	0,02	24,39		796,2		183,8		-		17,32
43	3-3	60	0,02	6,36		530		-		7,66		2
44	3-4	40	0,02	47,7		159,2		-		25,98		-
45	3-5	20	0,02	23,88		106,1		-		4,33		-
46	3-6	90	0,02	143,3		159,2		-		8,66		-
47	3-7	70	0,02	55,16		233,1		-		17,32		-
48	3-8	50	0,02	11,65		183,8		-		17,32		-
49	3-9	30	0,02	31,85		636,9		-		17,32		-
50	3-10	10	0,02	47,7		280,8		183,7		17,32		-