«Золотое сечение» - гармоническая пропорция
В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: а : b = с : d.
Отрезок прямой А В можно разделить на две части следующими способами:
• на две равные части - АВ :АС = АВ : ВС;
• на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
• таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС. Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему
а
: b
= b
: с или с
: b
- b
: а.
Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
рактическое
знакомство с золотым сечением начинают
с деления отрезка прямой в золотой
пропорции с помощью циркуля и линейки
Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению.
ВС = 1/2 АВ; СО = ВС
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С
соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок АD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью АЕ = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ - 0,382... Для практических целей часто использую' приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая - 38 частям.
Рис. 3. Пятиугольники и звезды в отношении .
"В прямоугольнике з. с. стороны находятся в отношении з. с. Этот прямоугольник содержит в себе квадрат и малый прямоугольник з. с. (его большая сторона является малой стороной первоначального прямоугольника.) Поэтому можно построить прямоугольник з. с. на основании квадрата: сторона квадрата делится пополам, из той точки к вершине проводится диагональ, с помощью которой на стороне квадрата строится прямоугольник з. с.
Точки пересечения линий, составляющих звезду, делят их на отрезки в отношении золотого сечения. Этот малый прямоугольник подобен большому прямоугольнику, составленному из квадрата и малого прямоугольника з. с., то есть оба эти прямоугольника являются прямоугольниками з. с.
Иначе говоря, если отсечь от прямоугольника з. с., квадрат, то остается меньший прямоугольник, стороны которого опять же будут находиться в отношении з. с. Разбивая этот меньший прямоугольник на квадрат и еще меньший прямоугольник, мы опять получим прямоугольник з. с., и так до бесконечности. Если соединить вершины квадратов кривой, то мы получим логарифмическую кривую, бесконечно растущую спираль, которую называют "кривая развития", "спираль жизни", ибо в ней как бы заложена идея бесконечного развития.
Рис. 4. Схема идеальных пропорций средневековой рукописи.
Пропорции страницы 2:3, а плоскость, занятая письмом в пропорции золотого сечения.
Рис. 5. Один из способов определения размера полосы набора при