- •Н.П. Шевченко, и.Ю. Смирнова аналитическая геометрия и линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия.
- •Лекция 1. Линейные образы в r2. Понятие об уравнении линии на плоскости.
- •Прямая линяя на плоскости.
- •Типы уравнений прямой.
- •Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности.
- •Задачи на тему “Прямая на плоскости”.
- •Лекция 2. Линейные образы в r3 .
- •Понятие алгебраической поверхности.
- •Плоскость.
- •Прямая линяя в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой в пространстве.
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.
- •Угол между двумя прямыми.
- •Задачи на тему “Прямая в пространстве”.
- •Прямая и плоскость.
- •Условие того, что прямая лежит в данной плоскости.
- •Условие того, что две прямые лежат в одной плоскости.
- •Смешанные задачи на прямую и плоскость.
- •Лекция 3. Кривые второго порядка.
- •1. Окружность
- •3. Гипербола
- •4. Парабола
- •Преобразования координат.
- •Кривые 2-го порядка с осями симметрии, параллельными осям координат.
- •1.Эллипс.
- •2.Гипербала.
- •3. Парабола.
- •Полярная система координат.
- •Связь между прямоугольными и полярными координатами.
- •Полярные уравнения кривых второго порядка.
- •Примеры на тему: ”Кривые второго порядка”.
- •Лекция 4. Поверхности второго порядка.
- •Лекция 5. Линейная алгебра. Матрицы.
- •Линейные операции над матрицами.
- •1. Сложение матриц.
- •2. Умножение матрицы на число.
- •3. Транспонирование матриц.
- •4. Умножение матриц.
- •5. Обратная матрица.
- •Свойства столбцов матрицы а.
- •Базисный минор.
- •Элементарные преобразования матриц.
- •Задачи на тему “Матрицы”.
- •Лекция 6. Системы линейных алгебраических уравнений. Однородные системы линейных уравнений.
- •Методы решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •1. Правило Крамера.
- •Решение системы методом обратной матрицы.
- •3. Метод Гаусса.
- •Множество решений однородной системы.
- •Общая теория линейных систем.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Общее решение системы линейных уравнений.
- •Теорема. Если – фундаментальная система решений системы (7), а - некоторое частное решение системы (6), то общее решение системы линейных алгебраических неоднородных уравнений (6):
- •Задачи на тему “Системы линейных алгебраических уравнений”.
- •Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений (слау).
- •Лекция 7. Понятие линейного преобразования. Собственные векторы.
- •Симметрическое линейное преобразование.
- •Теорема. Собственные значения симметрического линейного преобразования вещественны, а собственные векторы ортогональны.
- •Преобразование координат при переходе к новому базису (изменение направления осей).
- •Ортогональная матрица.
- •Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду.
- •Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.
- •Задачи на темы ”Собственные векторы ”, “Приведение кривой к каноническому виду”.
- •Лекция 8. Линейные пространства.
- •Примеры векторных (линейных) пространств.
- •Пример 2. Пространство всех вещественных чисел.
- •Замечание 1. Арифметическое пространство Rn является векторным пространством (удовлетворяет аксиомам 1) – 8)).
- •Замечание .Скалярное произведение порождает норму по правилу .
- •Замечание. Пара (е, (, .)) называется n-мерным Евклидовым пространством; пара (е,ф) со свойствами 1)-3) называется n-мерным аффинным пространством.
- •Используемая литература
- •Оглавление
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.П. Шевченко, и.Ю. Смирнова аналитическая геометрия и линейная алгебра
Учебное пособие
Ростов-на-Дону 2005
УДК 517
Ш31
Ш31 Шевченко Н.П., Смирнова И.Ю. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учеб. Пособие.- Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ.- 2005.- 77с.
Учебное пособие представляет собой опорный конспект лекций (продолжение методического пособия «Алгебра и аналитическая геометрия» ДГТУ, 2004) по темам: «Аналитическая геометрия на плоскости, в пространстве. Кривые второго порядка. Матрицы. Линейные преобразования». Рассмотрены основные понятия, свойства, приведены примеры с решениями.
Пособие рассчитано на студентов первого курса всех специальностей, изучающих указанные разделы курса «Математика».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Донского государственного технического университета
Научный редактор д-р ф.-м. н., проф. А.В. Братищев
Рецензент к.ф.-м. н. Т.Н. Радченко (РГУ, г. Ростов-на-Дону)
Аналитическая геометрия.
Предмет аналитической геометрии - это изучение геометрических образов с помощью алгебры(их положение, вид, а не размеры). Точка – исходный элемент, все остальное – совокупность точек.
Лекция 1. Линейные образы в r2. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом , и точкой О(0,0) – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.
Определение. Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение F(x, y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
Пример. 1) y=x или x-y=0 уравнение биссектрисы и координатных углов.
2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса R: x2+y2=R2 или x2+y2-R2=0.
Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности , что левая часть уравнения содержит еще и другие символы, а, b, R и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении y=kx+b параметрами являются k и b, а в уравнении окружности x2+y2=R2 параметр- радиус R и координаты центра О(0,0). Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии, установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.
Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:
Ax+By+C=0 (A2+B20) (1)
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 (A2+B2+C20) (2)
Ax3+Bx2y+Cxy2+Dy3+Ex2+Fxy+Gy2+Hx+Ly+K=0 (A2+B2+C2+D20) (3)
Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.
Определение. Линяя, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени n, называется алгебраической линией n-го порядка.