Лабораторная работа №4. Уточнение корней уравнений методом простой итерации.
Необходимые сведения из теории.
1. Этапы приближённого решения уравнений с одним неизвестным.
2. Отделение корней. Графическое отделение корней.
3. Условия сходимости итерационной последовательности.
4. Алгоритм построения итерационной
последовательности, порождаемой
уравнением
.
5. Условие окончания итерационного процесса при заданной допустимой погрешности.
6. Оценка погрешности n – го приближения к корню.
7. Способы приведения уравнения
к равносильному уравнению
с
требуемыми для метода свойствами.
Задание
Отделите корни данного уравнения и уточните их методом простой итерации с точностью до .
вариант |
уравнение |
|
вариант |
уравнение |
1 |
|
|
9 |
|
2 |
|
|
10 |
|
3 |
|
|
11 |
|
4 |
|
|
12 |
|
5 |
|
|
13 |
|
6 |
|
|
14 |
|
7 |
|
|
15 |
|
8 |
|
|
|
|
Порядок выполнения работы
1. Найдите графически отрезок
небольшой длины
,
изолирующий один из корней.
2. Приведите исходное уравнение к виду
,
пригодному для метода итерации на
отрезке
.
3. Найдите приближенный корень и выпишите его с верными значащими цифрами.
Практическая работа №5. Решение систем линейных уравнений.
Необходимые сведения из теории.
На какие группы можно разделить методы решения линейных алгебраических систем?
В чём суть метода Гаусса?
В чём заключается прямой и обратный ход в схеме единственного деления?
Как организуется контроль за вычислениями в прямом и обратном ходе.
Какие способы вычисления определителей вам известны?
В чём суть матричного метода решения систем линейных уравнений?
Приведённая система уравнений, способы преобразования систем к приведённому виду.
Построение итерационной последовательности.
Достаточное условие сходимости итерационной последовательности.
Оценка погрешности приближённого решения.
Условие окончания итерационного процесса при нахождении решения с заданной точностью.
Задание
Систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными решить различными способами:
1) методом Гаусса (по схеме единственного деления), с сохранением четырёх знаков после запятой;
2) методом простой итерации с точностью до ;
3) методом Зейделя с точностью до .
варианты |
i |
|
|
|
|
1 |
1 2 3 |
0,21 0,30 0,60 |
-0,45 0,25 -0,35 |
-0,20 0,43 -0,25 |
1,91 0,32 1,83 |
2 |
1 2 3 |
-3 0,5 0,5 |
0,5 -6 0,5 |
0,5 0,5 -3 |
-56,5 -100 -210 |
3 |
1 2 3 |
0,45 -0,01 -0,35 |
-0,94 0,34 0,05 |
-0,15 0,06 0,63 |
-0,15 0,31 0,37 |
4 |
1 2 3 |
0,63 0,15 0,03 |
0,05 0,10 0,34 |
0,15 0,71 0,10 |
0,34 0,42 0,32 |
5 |
1 2 3 |
-0,20 -0,30 1,20 |
1,60 0,10 -0,20 |
-0,10 -1,50 0,30 |
0,30 0,40 -0,60 |
6 |
1 2 3 |
0,30 -0,10 0,05 |
1,20 -0,20 0,34 |
-0,20 1,60 0,10 |
-0,60 0,30 0,32 |
7 |
1 2 3 |
0,20 0,58 0,05 |
0,44 -0,29 0,34 |
0,81 0,05 0,10 |
0,74 0,02 0,32 |
варианты |
i |
|
|
|
|
8 |
1 2 3 |
6,36 7,42 5,77 |
11,75 19,03 7,48 |
10 11,75 6,36 |
-41,40 -49,49 -27,67 |
9 |
1 2 3 |
-9,11 7,61 -4,64 |
1,02 6,25 1,13 |
-0,73 -2,32 -8,88 |
-1,25 2,33 -3,75 |
10 |
1 2 3 |
-9,11 7,61 -4,64 |
1,02 6,25 1,13 |
-0,73 -2,32 -8,88 |
1,25 2,33 -3,75 |
11 |
1 2 3 |
1,02 6,25 1,13 |
-0,73 -2,32 -8,88 |
-9,11 7,62 4,64 |
-1,25 2,33 -3,75 |
12 |
1 2 3 |
0,06 0,99 1,01 |
0,92 0,01 0,02 |
0,03 0,07 0,99 |
-0,82 0,66 -0,98 |
13 |
1 2 3 |
0,10 0,04 0,91 |
-0,07 -0,99 1,04 |
-0,96 -0,85 0,19 |
-2,04 -3,73 -1,67 |
14 |
1 2 3 |
0,62 0,03 0,97 |
0,81 1,11 -0,02 |
0,77 -1,08 -1,08 |
-8,18 0,08 0,06 |
15 |
1 2 3 |
0,63 0,90 0,13 |
-0,37 0,99 -0,95 |
1,76 0,05 0,69 |
-9,29 0,12 0,69 |
варианты |
i |
|
|
|
|
16 |
1 2 3 |
1,91 0,32 1,83 |
-0,45 0,25 -0,35 |
-0,20 0,43 -0,25 |
0,21 0,30 0,60 |
17 |
1 2 3 |
0,5 -6 0,5 |
-3 0,5 0,5 |
0,5 0,5 -3 |
-56,5 -100 -210 |
18 |
1 2 3 |
-0,15 0,06 0,63 |
-0,94 0,34 0,05 |
0,45 -0,01 -0,35 |
-0,15 0,31 0,37 |
19 |
1 2 3 |
0,63 0,15 0,03 |
-0,15 0,06 0,63 |
-0,94 0,34 0,05 |
0,45 -0,01 -0,35 |
20 |
1 2 3 |
-0,20 -0,30 1,20 |
1,60 0,10 -0,20 |
0,63 0,15 0,03 |
-0,15 0,06 0,63 |
21 |
1 2 3 |
0,30 -0,10 0,05 |
-0,15 0,06 0,63 |
1,60 0,10 -0,20 |
0,63 0,15 0,03 |
22 |
1 2 3 |
-0,94 0,34 0,05 |
0,44 -0,29 0,34 |
-0,15 0,06 0,63 |
0,74 0,02 0,32 |
варианты |
i |
|
|
|
|
23 |
1 2 3 |
6,36 7,42 5,77 |
11,75 19,03 7,48 |
-0,94 0,34 0,05 |
0,44 -0,29 0,34 |
24 |
1 2 3 |
-9,11 7,61 -4,64 |
6,36 7,42 5,77 |
11,75 19,03 7,48 |
-0,94 0,34 0,05 |
25 |
1 2 3 |
-9,11 7,61 -4,64 |
1,02 6,25 1,13 |
-0,03 -0,32 -0,88 |
1,25 2,33 -3,75 |
26 |
1 2 3 |
1,02 6,25 1,13 |
-0,73 -2,32 -0,88 |
-9,11 0,62 4,04 |
-1,25 2,33 -3,75 |
27 |
1 2 3 |
1,06 0,99 1,01 |
0,92 1,01 0,02 |
0,13 0,07 0,99 |
-0,82 0,66 -0,98 |
28 |
1 2 3 |
0,10 0,04 0,91 |
-0,07 -0,99 0,04 |
-0,96 0,85 0,19 |
-2,04 -3,73 -1,67 |
29 |
1 2 3 |
0,62 0,03 0,97 |
0,81 1,10 -0,02 |
0,77 -1,08 -0,08 |
-8,18 0,08 0,06 |
30 |
1 2 3 |
0,63 0,90 0,13 |
-0,37 0,09 -0,95 |
1,06 0,05 0,69 |
-9,29 0,12 0,69 |
Порядок выполнения работы
1. Для решения системы уравнений методом Гаусса составьте расчётную таблицу. Вычисления вести с сохранением четырёх знаков после запятой. В прямом и обратном ходе схемы единственного деления для исключения случайных ошибок предусмотреть контроль. Полученное решение представить в исходную систему и произвести вычисления. Вычислить определитель решаемой системы путём перемножения ведущих элементов и любым другим известным вам способом. Убедитесь в правильности вычислений. Решите систему уравнений матричным методом.
2. Преобразуйте систему к приведённому виду с выполнением условия итерационной последовательности. Взяв в качестве начального приближения вектор свободных членов приведённой системы, найти первое приближение, затем определить его абсолютную погрешность и проверить условие окончания итерационного процесса. Найти приближённое решение системы и выписать его координаты с верными значащими цифрами.