5. Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению
Определение 1. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, которая не проходит через точку F.
Т
очка
F называются фокусами,
расстояние от фокуса параболы до
директрисы называется фокальным
параметром параболы и обозначается
через p.
В выбранной системе координат фокус имеет координаты F(p/2, 0), директриса уравнение x = - p/2.
Пусть M(x,y)- произвольная точка плоскости Oxy, M1- проекция точки M на директрису. Точка M1 имеет координаты: M1(- p/2, y). По
определению 1 точка M принадлежит параболе тогда и только тогда, когда
MF = MM1. (1)
.
(2)
Уравнение (2) называется каноническим уравнением параболы. Отрезок MF называются фокальными радиусами точки M.
Исследуем параболу по каноническому уравнению.
1. Парабола проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) удовлетворяют уравнению (2) и парабола пересекает оси только в начале координат и эта точка называется вершиной гиперболы.
2. Так как переменная y входит в уравнение (2) в четной степени, то вместе с точкой (x, y) параболе принадлежат две точки (x, y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, парабола симметрична относительно координатной оси Ox.
3. Из уравнения параболы находим x 0, и она находится в полосе 0 x 4. Исследуем поведение параболы в первой четверти. Для этого выразим y из уравнения (2) через x:
.
Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке 0 x <+ парабола является графиком возрастающей функции.
4
.
Исследуем пересечения гиперболы с
прямыми, проходящими через начало
координат. Вертикальная и горизонтальная
прямые, оси Oх, Oy
пересекает параболу только в начале
координат. Рассмотрим любую другую
прямую, которую можно задать уравнением
y = kx,
k
0. Подставляя в уравнение (1) находим, что
прямая пересекает параболу в двух точках
.
Замечание 1. С помощью циркуля и линейки можно построить сколь угодно много точек на параболе. Проведем прямую параллельную директрисе на расстоянии r, и с центром в фокусе F, радиусом r. Точки пересечения прямой и окружностей лежат на параболе (см. рис. 4).