3. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы

Определение 1. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ той же плоскости есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между точками F₁, F₂.

Точки называются фокусами, расстояние F₁F₂ называется фокальным расстоянием. Обозначаем его через 2с. Через 2а обозначим модуль разности от любой точки гиперболы до фокусов. По определению a < c.

MF₁ - MF₂ = 2c. (1)

Находим

MF₁ = , MF₂ = .

Отсюда получим уравнение гиперболы

. (2)

Обозначаем

и найденное выше уравнение запишем в виде

. (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением гиперболы. Отрезки MF₁, MF₂ называются фокальными радиусами точки M.

4. Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению. Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

1. Гипербола не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (3).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох полагаем в уравнении (3) у = 0 и находим x = a. Таким образом гипербола пересекает ось Ох в точках A₁(-a, 0), A₂(a, 0). Так как уравнение (3) не имеет решений при у = 0, то гипербола не пересекает ось Оy.

Точки A₁, A₂ называются действительными вершинами гиперболы, отрезок A₁A₂, B₁B₂ действительной осью гиперболы; A₁A₂ =2a; a называются действительной полуосью гиперболы. Точки B₁(0,-b), B₂(0, b) называются мнимыми вершинами гиперболы, отрезок B₁B₂ мнимой осью гиперболы; B₁B₂ =2b; b называются мнимой полуосью гиперболы.

3. Так как все переменные входят в уравнение (3) в четной степени, то вместе с точкой (x, y) гиперболе принадлежат четыре точки (x, y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гипербола симметрична относительно, всех координатных осей Ox, Oy и начала координат. Точка О называется центром гиперболы.

4. Из уравнения гиперболы находим, . Отсюда следует, что гипербола не ограниченная линия, которая находится в объединении полос: - < x  a, a x <+ (см. рис. 2).

5. Исследуем поведение гиперболы в первой четверти. Для этого выразим y из уравнения (3) через x:

.

Отсюда видим, что в первой четверти на промежутке a x <+ гипербола является графиком возрастающей функции.

6. Исследуем пересечения гиперболы с прямыми, проходящими через начало координат. Вертикальная прямая, ось Oy, не пересекает гиперболу. Рассмотрим любую другую прямую, которую можно задать уравнением y = kx, k  R. Подставляя в уравнение (1) находим, что прямая пересекает гиперболу только при и пересекает ее в двух точках где

Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению. Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

Определение 1. Прямая называется асимптотой линии l, если точка по линии l, двигаясь к бесконечности, неограниченно приближается к данной прямой.

Теорема 1. Асимптотами гиперболы, заданной каноническим уравнением (3), являются прямые .

Определение 2. Эксцентриситетом  гиперболы называется число, равное отношению его фокального расстоянию с к длине его действительной полуоси a: .

Из определения гиперболы следует, что  > 1. Для окружности эксцентриситет равен нулю.

Так как , то . Из этого соотношения получаем, что чем ближе  к 1, тем меньше отношение b/a, и тем меньше угол между осью Ox и асимптотами, чем больше , тем больше отношение b/a, и тем больше между осью Ox и асимптотами.

Определение 3. Гипербола называется равносторонней, если у нее действительная и мнимая полуоси равны, т. е. a = b.

.