4. Вопросы для допуска к лабораторной работе

1. Дайте определение числа степеней свободы механической системы. Приведите примеры систем с одной, двумя, тремя степенями свободы. Какими степенями свободы обладает изучаемая в настоящей работе система?

2. При каких условиях возникают биения?

3. Запишите математически и изобразите графически зависимость амплитуды биений от времени. Опишите характер движения груза на пружине в режиме биений.

4. От каких параметров системы зависят периоды продольных и крутильных колебаний груза на пружине? Почему период продольных колебаний не изменяется при смещении гаек по спицам?

5. Каким образом можно изменять период крутильных колебаний в лабораторной установке?

6. Запишите математически зависимость периода биений от периода крутильных колебаний. В каких переменных следует построить эту зависимость, чтобы она была прямолинейной?

7. Объясните, каким образом получается калибровочная зависимость периода крутильных колебаний от расстояний l от оси цилиндра до гаек?

5. Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. I. М.: Наука, 1998 г.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.

6. Методика проведения эксперимента и описание установки

Устройство лабораторной установки показано на рис. 2. Металлический цилиндр 1 подвешен к пружине 2, верхний конец которой закреплён ни стойке 3. Цилиндр снабжён спицей 4 с перемещаемыми по ней гайками 5. Пружина обладает продольной (k) и крутильной (G) жесткостью, поэтому цилиндр может совершать как продольные, так и крутильные колебания.

Если отклонить цилиндр в вертикальном направлении без поворота вокруг своей оси, то на него будет действовать возвращающая сила

F = – kx.

В этом случае уравнение динамики поступательного движения

(m — полная масса цилиндра, включая спицу с дисками) можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний:

,

где (5)

— частота продольных колебаний.

Если повернуть цилиндр вокруг своей оси на некоторый угол φ без отклонения в вертикальном направлении, то на него будет действовать возвращающий момент силы относительно этой оси:

.

В этом случае уравнение динамики вращательного движения

(I — полный момент инерции цилиндра, включая спицу с гайками) можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний:

,

где (6)

— частота крутильных колебаний.

В соответствии с формулами (5) и (6) периоды продольных и крутильных колебаний равны

, (7)

. (8)

Величину T_к можно регулировать, изменяя момент инерции тела I путем перемещения гаек 5 вдоль спицы 4, при этом период Т_п не изменяется, так как масса тела m остаётся постоянной.

Полный момент инерции цилиндра, включая спицу с гайками, равен

I = I₀ + 2m₀·l², (9)

где I₀ — момент инерции цилиндра и спицы без гаек, m₀ — масса одной гайки, l — расстояние от оси цилиндра до гаек (предполагается, что гайки являются материальными точками и смещаются всегда симметрично относительно оси цилиндра).

Подстановка (9) в (8) приводит к следующей линейной зависимости от l²:

. (10)

Это уравнение аналогично математической записи уравнения прямой линии .

Рассмотрим теперь условия, при которых в данной колебательной системе может наблюдаться режим биений. Пружина, применяемая в установке, обладает следующим свойством: при растяжении (или сжатии) её нижний конец слегка раскручивается (или закручивается) относительно верхнего закреплённого конца. Это приводит к тому, что продольные и крутильные колебания цилиндра оказываются хотя и слабо, но всегда связанными между собой. В результате такой связи продольные и крутильные колебания накладываются друг на друга — возникают суммарные колебания — так называемые биения с частотой .

В условиях, когда частоты ω_п и ω_к близки друг другу, частота биений Δω оказывается достаточно низкой, а период биений значительно превышает величины T_п и T_к (рис. 3).

С энергетической точки зрения явление биений представляет собой периодическую перекачку энергии от одной степени свободы к другой, при этом максимум амплитуды продольных колебаний соответствует минимуму крутильных колебаний и наоборот.

За период биений принимают величину, равную промежутку времени между двумя ближайшими минимумами амплитуды, при этом

.

Отсюда получаем следующую зависимость T_б от T_к:

. (11)

И з графика этой зависимости (рис. 4а) видно, что при приближении T_к к T_п период биений резко возрастает.

Для экспериментальной проверки формулы (11) удобно представить ее в виде

. (12)

График зависимости 1/T_к от 1/T_п должен иметь вид двух отрезков прямых линий, сходящихся в точке на оси абсцисс, где периоды продольных и крутильных колебаний совпадают (1/T_к = 1/T_п). Угловые коэффициенты этих прямых должны быть равны (рис. 4б).

. (13)