8

Лабораторная работа ст-1

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Цель работы

Изучение процедуры экспериментальных измерений и одного из способов обработки результатов измерений и расчета погрешностей измерений на примере исследования колебаний пружинного маятника.

2. Подготовка к работе

Изучите и законспектируйте теоретический материал, изложенный в следующем разделе настоящего методического руководства к лабораторной работе. Уясните понятия: экспериментальное исследование, экспериментальная установка, измерительный прибор, метод измерения, прямые и косвенные измерения, абсолютная и относительная погрешность измерения. Изучите устройство пружинного маятника, функциональную зависимость его параметров, которая используется в работе, и способ графического представления результатов измерения. Запишите в конспект и запомните метод Стьюдента расчета абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений, а также способы расчета погрешностей косвенных измерений физических величин. Подготовьте ответы на вопросы к допуску.

3. Краткая теория

Физика принадлежит к числу фундаментальных наук, составляющих основу подготовки инженеров и научных работников в любой современной технической области. Физика — наука экспериментальная. Экспериментальное исследование в физике — это наблюдение исследуемого процесса в контролируемых лабораторных условиях с помощью специальной экспериментальной установки. Эксперимент является как методом исследования, так и способом подтверждения или опровержения теоретических моделей физических явлений. Только подтвержденная опытным путем теоретическая модель явления становится законом физики.

Для проведения экспериментальных исследований в физике и технике используют экспериментальные установки, которые представляют собой комплекс технического и измерительного оборудования для многократного воспроизведения изучаемого явления или процесса в лабораторных условиях. Объективная регистрация результатов опыта в эксперименте осуществляется с помощью измерительных приборов — устройств, которые дают возможность количественно определять регистрируемую физическую величину. Например, линейка предназначена для измерения геометрических размеров, секундомер — для измерения времени, весы — для измерения массы и т.д.

Совокупность и последовательность действий, которые выполняются в процессе экспериментального исследования на установке, называют методом измерения или измерением. Результаты измерения — численные значения регистрируемых физических величин, выраженные в стандартных единицах измерения. Результаты измерения обычно записывают в специальные таблицы экспериментальных данных.

Измерение, результат которого считывают непосредственно со шкалы или табло прибора, называют прямым измерением.

Косвенным измерением называют измерение, результат которого получают путем расчета по данным прямых измерений. Например, скорость равномерного движения тела можно рассчитать по данным измерения времени движения и пройденного при этом пути.

Отклонения результатов измерения от истинных значений измеряемых величин — погрешности (ошибки) измерений — являются количественной характеристикой достоверности измерений.

Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины x₀:

.

(1)

Величина , равная отношению абсолютной погрешности измерения к результату измерения, называется относительной погрешностью:

.

(2)

Относительная погрешность является мерой точности измерения различных физических величин.

В теории погрешностей результат измерения рассматривается как случайная величина, которая зависит от большого количества различных влияющих факторов. Надежность (достоверность) измерений в теории погрешностей определяют количественно как доверительную вероятность попадания истинного значения измеряемой величины x₀ в доверительный интервал . Доверительную вероятность обычно задают в диапазоне 90-99%.

Погрешность измерения, которая также является случайной величиной, определяют по результатам многократных измерений, проведенных при одинаковых условиях. Задача достоверной оценки погрешности измерений при ограниченном количестве повторных измерений была решена английским математиком У. Госсетом (1908 г.), который, будучи студентом, публиковал свои работы под псевдонимом Стьюдент.

Результатом измерения в методе Стьюдента определения погрешности измерения является среднее значение от N значений величины х, измеренных при одинаковых условиях:

.

(3)

Как было показано Стьюдентом, при ограниченном количестве измерений абсолютная погрешность может быть рассчитана следующим образом:

,

(4)

где _с — средняя квадратичная погрешность среднего, которая определяется по формуле

,

(5)

t_ — коэффициент Стьюдента, величина которого зависит от требуемого значения надежности измерения (доверительной вероятности)  и количества измерений N.

Для оценки точности измерений нередко ограничиваются определением среднеквадратичной погрешности среднего по формуле (5). Однако следует знать, что эта погрешность соответствует достаточно низкой надежности измерений, не превышающей 70%.

В технических измерениях величина надежности измерения обычно принимается равной  = 0,95. Значения коэффициентов Стьюдента для доверительной вероятности, равной 0,95, приведены в таблице. Как видно из таблицы, при N > 7 коэффициент Стьюдента изменяется незначительно, поэтому для достаточно надежной оценки погрешности измерения достаточно провести 6–10 измерений.

Таблица коэффициентов Стьюдента                          

N	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	
t	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,5	2,4	2,3	2,3	2,1	2,1	2

После определения погрешности методом Стьюдента результат прямых измерений записывают в стандартном виде с указанием единиц измерения:

ед. изм., ,  = 0,95.

(6)

В некоторых измерениях погрешность может быть разделена на случайную и систематическую составляющие. Систематическая погрешность — это составляющая, которая проявляется как постоянная добавка к результатам отдельных измерений, и поэтому иногда может быть выявлена и исключена при определении окончательного результата измерения. Систематические погрешности могут быть обусловлены, например, неправильной градуировкой прибора, влиянием температуры окружающей среды, давления и влажности воздуха. Учет и исключение систематической погрешности — важная задача разработки метода измерения и повышения его точности.

Если при измерениях используется стандартный, серийно выпускаемый прибор, то погрешность измерения рекомендуется оценивать по его предельно допустимой погрешности _ПР, указываемой в паспорте, или по цене наименьшего деления прибора ω. При надежности измерения  = 0,95 погрешность измерения следует определять по формулам:

или .

(7)

При косвенных измерениях определяемая величина рассматривается как известная функция нескольких других величин, которые измеряют прямым методом. Например, пусть искомая величина Z = Z(x, y) является известной функцией величин x и y. Результат косвенного измерения найдем подстановкой средних значений и в формулу Z = Z(x, y), т.е.

,

(8)

а погрешность косвенных измерений Z в теории погрешностей определяют по формуле

,

(9)

где x, y — погрешности прямых измерений величин x и y. Символы и означают частные производные функции Z(x,y). Каждая частная производная может быть найдена как обыкновенная производная функции Z(x,y) по соответствующему аргументу, если оставшиеся аргументы рассматривать как постоянные параметры.

Аналогично можно рассчитать погрешность косвенных измерений для случая, когда результат измерения определяется по данным большего количества n прямо измеряемых величин. В этом случае формула (9) принимает следующий вид:

.

(10)

В часто встречающемся случае, когда косвенно измеряемая величина может быть представлена в виде степенной функции

,

причем показатели степени a, b, c могут быть дробными, относительная погрешность измерения величины Z определяется следующим образом:

,

(11)

где _х, _y, _t — относительные погрешности прямых измерений величин x, y и t. Абсолютная погрешность измерения определяется в этом случае следующим очевидным образом:

.

(12)