ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № МК-4

ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

(МАЯТНИК УИЛБЕРФОРСА)

1. Цель работы

Исследование колебаний маятника на пружине, обладающей продольной и крутильной жесткостью, изучение явления биений при сложении колебаний с близкими частотами в системе с двумя степенями свободы, опытное определение периода биения и крутильной жёсткости пружины.

2. Подготовка к работе

Изучите теоретический материал по учебнику [1]: степени свободы механических систем, биения при сложении колебаний с близкими частотами. Изучите также раздел 5 методического описания и подготовьте ответы на вопросы раздела 3.

3. Вопросы для допуска к лабораторной работе

1. Дайте определение числа степеней свободы механической системы. Приведите примеры систем с одной, двумя, тремя степенями свободы. Какими степенями свободы обладает изучаемая в настоящей работе система?

2. При каких условиях возникают биения? Запишите математически и изобразите графически зависимость амплитуды биений от времени. Опишите характер движения груза на пружине в режиме биений.

3. 0т каких параметров системы зависят периоды продольных и крутильных колебаний груза на пружине? Почему период продольных колебаний не изменяется при смещении дисков по спицам? Каким образом можно регулировать период крутильных колебаний в лабораторной установке?

4. Запишите математически зависимость периода биений от периода крутильных колебаний. В каких переменных следует построить эту зависимость, чтобы она была прямолинейной?

5. Объясните, каким образом экспериментально определяется крутильная жесткость пружины? В чем заключается физический смысл этого параметра и какова его размерность?

4. Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. I. М.: Наука, 1998 г.

5. Методика проведения эксперимента и описание установки

Устройство лабораторной установки показано на рис. 1. Металлический цилиндр 1 подвешен к пружине 2, верхний конец которой закреплён ни стойке 3. Цилиндр снабжён спицами 4 с перемещаемыми по ним дисками 5. Пружина обладает продольной (k) и крутильной (G) жесткостью, поэтому цилиндр может совершать как продольные, так и крутильные колебания.

Если отклонить цилиндр в вертикальном направлении без поворота вокруг своей оси, то на него будет действовать возвращающая сила

F = - kx.

В этом случае уравнение динамики поступательного движения

(m – полная масса цилиндра, включая спицы с дисками) можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний

,

где (1)

- частота продольных колебаний.

Если повернуть цилиндр вокруг своей оси на некоторый угол φ без отклонения в вертикальном направлении, то на него будет действовать возвращающий момент силы относительно этой оси:

В этом случае уравнение динамики вращательного движения

(I - полный момент инерции цилиндра, включая спицы с дисками) можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний

,

где (2)

- частота крутильных колебаний.

В соответствии с формулами (1) и (2) периоды продольных и крутильных колебаний равны:

(3)

(4)

Величину T_к можно регулировать, изменяя момент инерции тела I путем перемещения дисков 5 вдоль спиц 4, при этом период Т_п не изменяется, так как масса тела m остаётся постоянной.

Полный момент инерции тела равен

I = I₀ + 2m₀l², (5)

где I₀ - момент инерции тела со снятыми дисками, m₀ - масса одного диска, l – расстояние дисков от оси цилиндра (предполагается, что диски смещаются всегда симметрично относительно оси цилиндра).

Подстановка (5) в (4) приводит к следующей линейной зависимости T_к² от l²:

(6)

Эту зависимость, во-первых, можно использовать в качестве калибровочного графика для определения T_к при различных положениях дисков на спицах. Во-вторых, из наклона этой прямой

можно найти крутильную жесткость пружины

(7)

Рассмотрим теперь условия, при которых в данной колебательной системе может наблюдаться режим биений.

Пружина, применяемая в установке, обладает следующим свойством: при растяжении (или сжатии) её нижний конец слегка раскручивается (или закручивается) относительно верхнего закреплённого конца. Это приводит к тому, что продольные и крутильные колебания цилиндра оказываются хотя и слабо, но всегда связанными между собой. В результате такой связи продольные и крутильные колебания накладываются друг на друга – возникают суммарные колебания – так называемые биения. Биения отличаются от обычных гармонических колебаний тем, что их амплитуда изменяется по времени по закону

,

где .

В условиях, когда частоты ω_п и ω_к близки друг другу, частота биений Δω/2 оказывается достаточно низкой, а их период значительно превышает величины T_п и T_к (рис. 2).

Т_п

Продольные колебания

0 t

Т_п

Крутильные колебания

t

А_п Т_б

0 t

А_к Т_б

0 t

Рис. 2.

С энергетической точки зрения явление биений представляет собой периодическую перекачку энергии от одной степени свободы к другой, при этом максимум амплитуды продольных колебаний соответствует минимуму крутильных колебаний и наоборот.

За период биений принимают величину, равную промежутку времени между двумя ближайшими минимумами амплитуды, при этом

Отсюда получаем следующую зависимость T_б от T_к:

(8)

Из графика этой зависимости (рис. 3а) видно, что при приближении T_к к T_п период биений резко возрастает.

Для экспериментальной проверки формулы (8) удобно представить ее в виде

. (9)

Согласно (9) зависимость T_б от T_к должна иметь вид двух отрезков прямых линий, сходящихся в точке на оси абсцисс, где периоды продольных и крутильных колебаний совпадают (1/T_к = 1/T_п) (рис. 3б). Наклоны этих прямых должны быть равны

. (10)