8

Лабораторная работа мк-4

ИССЛЕДОВАНИЕ БИЕНИЙ

В КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ

С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

НА УСТАНОВКЕ «МАЯТНИК УИЛБЕРФОРСА»

1. Цель работы

Исследование колебаний маятника на пружине, обладающей продольной и крутильной жесткостью, изучение явления биений при сложении колебаний с близкими частотами в системе с двумя степенями свободы, опытное определение периода биений.

2. Подготовка к работе

Изучите теоретический материал по учебникам [1–3]: колебательное движение, степени свободы механических систем, биения при сложении колебаний с близкими частотами. Изучите также разделы 3 и 6 методического описания и подготовьте ответы на вопросы раздела 4. Ознакомьтесь с конструкцией лабораторного стенда и принципом изме­рений по методическому описанию. Подготовьте конспект для допуска к лабораторной работе и потренируйтесь отвечать на вопросы обучающего и контрольного тестов на CD.

3. Краткая теория

Ч ислом степеней свободы механической системы называется число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы. Например, положение в пространстве материальной точки определяется тремя ее координатами (три степени свободы), положение абсолютно твердого тела определяется тремя координатами центра масс и тремя углами поворота относительно заданных осей координат (шесть степеней свободы). Рассмотрим основные особенности поведения системы с двумя степенями свободы на простом примере двух грузов, связанных пружинами (рис. 1). Смоделируем грузы материальными точками. Положение такой системы задается всего лишь двумя величинами x_a и x_b отклонений грузов от положений равновесия. На каждый груз действует по две силы упругих деформаций пружин. Сила, действующая со стороны средней пружины на груз a, противоположна по направлению силе, действующей со стороны средней пружины на груз b. Поэтому, уравнения динамики движения грузов имеют вид

(1)

Для упрощения расчетов примем, что в начальный момент времени один из грузов был отклонен на расстояние x₀ от положения равновесия, другой находился в положении равновесия и скорости обоих грузов были равны нулю. В результате решения этой системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений получим

(2)

где . (3)

Предположим, что пружина между грузами очень слабая по сравнению с внешними пружинами (слабая связь между степенями свободы, что имеет место в лабораторной установке «Маятник Уилберфорса»). Тогда частоты ω₁ и ω₂ становятся приблизительно равными

.

Введем обозначения

где ω_ср — средняя частота, мало отличающаяся от частот ω₁ и ω₂; Δω << ω₁ ≈ ω₂.

Запишем уравнения (2) в виде

(4)

Анализ этих уравнений позволяет сделать вывод, что оба груза совершают колебательные движения с медленно меняющимися по гармоническому закону амплитудами. Такие колебания называются биениями.