3. Примеры выполнения заданий типового расчета

Задача 1. Составить каноническое уравнение эллипса и гиперболы с полуосями и , выписать координаты фокусов.

Решение.

Составим сначала уравнение эллипса по формуле (2):

или .

Так как , то фокусы имеют координаты и , где . Т.е. координаты фокусов и .

Составим уравнение гиперболы, для которой действительная полуось , а мнимая – . Воспользуемся формулой (5). Получим

или .

Для гиперболы . Поэтому фокусы имеют координаты и .

В случае, когда полуось является мнимой, а полуось – действительной, получим по формуле (6)

или .

Фокусы данной параболы имеют координаты и .

Задача 2. Составить канонические уравнения парабол с параметром , выписать координаты фокуса и уравнение директрисы.

Решение.

В случае, когда парабола симметрична относительно оси , ее уравнение, согласно формуле (9), имеет вид или . При этом фокус лежит на оси на расстоянии от начала координат, т.е. координаты фокуса , уравнение директрисы имеет вид .

Если же осью симметрии параболы является ось , то уравнение примет вид или . Соответственно, фокус находится на оси , имеет координаты , а уравнение директрисы: .

Задача 3. Построить кривые 2-го порядка, заданные уравнениями:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Данное уравнение задает эллипс с полуосями и . Для построения отложим от начала координат в обе стороны расстояние на оси и на оси . Используя полученные точки, построим прямоугольник со сторонами и , а в прямоугольник впишем эллипс (рис. 7).

Рис. 7

б) Уравнение преобразуем к виду или . Значит, это гипербола, симметричная относительно оси , с действительной ось и мнимой осью . Для построения отложим от начала координат в обе стороны по оси и по оси (рис. 8). Аналогично случаю а) построим прямоугольник, затем проведем в нем диагонали и продлим их за прямоугольник.

Данные диагонали являются асимптотами гиперболы. Ветви гиперболы будут располагаться выше и ниже построенного прямоугольника, их вершинами являются точки и . По мере удаления от начала координат ветви гиперболы будут неограниченно приближаться к асимптотам, но никогда их не пересекут.	Рис.8
в) Уравнение задает параболу, симметричную относительно оси и направленную влево. Вершиной параболы является начало координат. Для построения найдем пару дополнительных точек. Ими являются, например, и . Можно найти еще несколько точек, вычислив их координаты хотя бы приблизительно.	Рис 9

Задача 3. Привести к каноническому виду уравнение . Найти координаты фокусов. Построить кривую.

Решение.

Сгруппируем слагаемые и дополним до полного квадрата. Получим:

, , , , .

Перенесем начало координат в точку (рис. 10) и применим преобразование координат , , получим уравнение эллипса:

.

Полуоси данного эллипса , . Так как , то . Координаты фокусов в новой системе координат и . Из преобразования координат имеем: , , поэтому фокусы в исходной системе координат выглядят так: и .

Р ис. 10

Задача 4. Привести уравнение к каноническому виду, сделать чертеж, если это возможно.

Решение.

Сгруппируем слагаемые, сразу дополняя до полного квадрата:

. Т.е. данная кривая распадается на пару пересекающихся прямых, задаваемых уравнениями и (рис. 11).

Рис. 11

Задача 5. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой расстояние до точки в 2 раза больше расстояния до прямой .

Решение.

Пусть – произвольная точка искомой кривой. Тогда расстояние . Так как прямая перпендикулярна оси , то расстояние до нее от точки равно . Тогда по условию получаем:

.

Возведем обе части полученного равенства в квадрат и проведем необходимые преобразования:

.

Применив преобразование координат , , получим каноническое уравнение гиперболы . Т.е искомая кривая – это гипербола с центром симметрии .

Задача 6. Привести уравнение к каноническому виду. Определить тип кривой.

Решение.

Применим преобразования (13), получим:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Приравняем к нулю коэффициент при и, решив тригонометрическое уравнение, найдем .

или ,

откуда или . Очевидно, что эти значения тангенса соответствуют двум перпендикулярным направлениям, поэтому достаточно взять одно из них, т.к. при втором мы просто поменяем местами и . Возьмем . Тогда , . Пусть , . Т.е. совершаем поворот координатных осей на угол . Подставим в уравнение и получим:

.

Теперь выделяем полные квадраты, аналогично случаю пятичленного уравнения.

,

, .

Возьмем за новое начало координат точку и, применив преобразование координат , , получим уравнение эллипса:

.

Полуоси данного эллипса: и .