§ 3.2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.2.1. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (слау). Понятие о прямых методах решения слау.

Основная запись СЛАУ. Понятие решения СЛАУ и некоторые определения. В общем случае основная запись системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

(3.2.1)

При этом через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых i указывает номер уравнения, а второй j номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Система (3.2.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю.

Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система (3.2.1) называется неоднородной.

Решением системы (3.2.1) называется такая совокупность n чисел , которая при подстановке в систему (3.2.1) на место неизвестных обращает все уравнения этой системы в тождества.

Система уравнений вида (3.2.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Совместная система вида (3.2.1) называется определенной, если она имеет единственное решение.

Совместная система вида (3.2.1) называется неопределенной, если у нее существуют по крайней мере два различных решения.

В дальнейшем мы будем рассматривать метод Гаусса применительно к решению совместных определенных систем.

Краткая запись СЛАУ:

. (3.2.2)

Матричная формулировка СЛАУ:

, (3.2.3)

где ; (3.2.4)

A – матрица коэффициентов системы; – вектор неизвестных; – вектор свободных членов.

Представление с помощью расширенной матрицы. В действительности, система уравнений полностью определяется элементами матрицы и вектора правой части. Обозначения неизвестных имеют чисто символический смысл. При различных допустимых преобразованиях системы также меняются только значения элементов матрицы и правой части. Поэтому вполне достаточным представлением системы уравнений является, так называемая, расширенная матрица (она получается из матрицы коэффициентов системы путем добавления к этой матрице столбца свободных членов):

(3.2.5)

где .

Прямые методами решения СЛАУ называются методы, которые позволяют получить теоретически точное (с учетом ограниченности разрядной сетки ЭВМ) решение за конечное число операций. Популярным прямым методом является, в частности, метод Гаусса,

3.2.2. Метод Гаусса.

Общая схема решения методом Гаусса состоит из двух частей.

1-я часть – приведение к эквивалентной системе уравнений более простой структуры (треугольной) за счет вычитания уравнений друг из друга, при умножении вычитаемого уравнения на специально подобранное число (Прямой ход).

2-я часть – решение равносильной системы уравнений с треугольной матрицей (Обратный ход).

Рассмотрим подробнее прямой ход (приведение системы уравнений к треугольному виду).

1-й шаг. Из i-ой строки (i=2, 3, ... , n) вычитаем 1-ую, умноженную на величину , получим новые коэффициенты по формуле

для всех .

2-й шаг. Из i-ой строки ( ) вычитаем 2-ую, умноженную на величину , получим новые коэффициенты по формуле

для всех

…………………………

k-й шаг. Из i-ой строки ( ) вычитаем k-ую, умноженную на величину , получим новые коэффициенты по формуле

для всех

Продолжая, после шагов получим расширенную матрицу вида:

,

т.е. систему с треугольной матрицей, эквивалентную исходной (3.2.1)-(3.2.5).

Запишем общие формулы прямого хода:

(3.2.6)

Следует отметить, что элемент – называется ведущим элементом или главным элементом.

Рассмотрим теперь обратный ход (решение системы с треугольной матрицей).

В результате прямого хода получена следующая система с треугольной матрицей, равносильная исходной системе (3.2.1):

(3.2.7)

Из треугольной системы последовательно (в обратном порядке) вычисляются значения неизвестных по формуле:

(3.2.8)

для (при сумма в формуле отсутствует).