§ 3.6. Методы решения нелинейных уравнений

3.6.1. Уравнения с одним неизвестным (скалярные).

Пусть на участке задана непрерывная функция (пример на рис. 3.6.1). Пусть требуется найти корни уравнения

. (3.6.1)

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами.

Решение задачи (3.6.1) итерационными методами, как правило, распадается на два этапа.

Первый этап состоит в определении интервалов, в которых находится только один корень (если корень существует) – локализация корней.

Второй этап заключается в вычислении каждого корня с заданной точностью – уточнение корней.

Для решения задачи на первом этапе существуют различные аналитические подходы, связанные с определенными типами уравнений (многочлены, тригонометрические уравнения и т.д.), однако, наиболее эффективным численным подходом является метод перебора.

Метод перебора реализуется следующим алгоритмом.

Задается точность, определяемая шагом ,

. (3.6.2)

Затем последовательно вычисляются значения функции :

, , … , , …, . (3.6.3)

Рис. 3.6.1. К вопросу о решении нелинейного уравнения с одним неизвестным.

В интервалах, на концах которых функция меняет знак:

(3.6.4)

находится корень уравнения. Если , где  – заданная точность, то величина

(3.6.5)

является приближенным значением корня. Таким способом можно найти все значения корней одновременно. Недостатком метода является относительно большое количество вычислений. Число вычислений значений функции имеет оценку

. (3.6.6)

Точность метода может быть существенно увеличена, если этим же методом воспользоваться дополнительно на каждом отрезке, на котором было получено приближенное значение корня, но при более мелком разбиении (при меньшей величине шага). При возможном наличии нескольких корней метод перебора является достаточно эффективным при решении практических задач. Для других, более эффективных методов, существенным является допущение, что на отрезке существует только один корень.

В заключение необходимо сделать два важных замечания.

1. Достаточным признаком того, что на отрезке существует корень, является выполнение условия (т.е. функция меняет знак на рассматриваемом отрезке).

2. Достаточным признаком единственности корня на отрезке является постоянство знака производной на этом отрезке (т.е. монотонность функции ).

Рассмотрим теперь методы решения поставленной задачи на втором этапе, в частности, метод половинного деления, метод итерации и метод Ньютона.

Метод половинного деления (метод бисекции, метод дихотомии). Метод половинного деления заключается в следующем. Отрезок, на котором существует корень уравнения , делится пополам (рис. 3.6.2). Если знак функции в точке деления отличен от знака функции в начальной точке, то корень находится в первой половине отрезка и вторая половина отбрасывается. Если знаки совпадают, то корень находится во второй половине и первая половина отбрасывается.

Рис. 3.6.2. К вопросу о решении нелинейного уравнения методом половинного деления.

Затем аналогичные действия (шаг приближенного решения) повторяются с оставшимся уменьшенным вдвое отрезком. Это происходит до тех пор, пока длина отрезка, оставшегося после N-го шага решения, не станет меньше . Тогда любая точка этого отрезка (например, его середина) может быть принята в качестве приближенного решения уравнения с заданной точностью  .

Алгоритм метода половинного деления кратко описан ниже.

, – начальные значения; (3.6.7)

0–й шаг: , , (3.6.8)

……………

k–й шаг: , ,

. (3.6.9)

Окончание вычислений происходит при достижении заданной точности (условие окончания счета):

. (3.6.10)

Следовательно, приближенное значение корня определяется в виде

. (3.6.11)

Оценка числа шагов n, необходимого для достижения заданной точности:

, откуда . (3.6.12)

Оценка числа шагов n, необходимого для достижения заданной точности:

Метод итерации. Представим уравнение (3.6.1) в виде

, где . (3.6.13)

Заметим, что постановка типа (3.6.13) может быть и исходной.

Метод итерации состоит в следующем. Задается начальное приближение . Затем последовательно вычисляются , , …, , … по формуле

, . (3.6.14)

Вычисления производятся до тех пор, пока не выполнится условие

, (3.6.15)

после чего приближенное решение принимается равным .

Обоснуем сходимость метода. Пусть – корень, – погрешность, тогда (по теореме Лагранжа):

.

Пусть . Тогда справедлива цепочка неравенств

,

откуда следует, что

т.к. и .

Следовательно, достаточным условием сходимости является

. (3.6.16)

Количество итераций , достаточное для получения приближенного решения уравнения с заданной точностью определяется из условия . Учитывая, что при и значения натурального логарифма от этих величин отрицательные ( и ), получим следующую оценку

. (3.6.17)

Обобщение. Если достаточное условие сходимости итераций (3.6.16) не выполняется, то вместо исходной задачи (3.6.1) можно рассмотреть эквивалентную ей задачу

, (3.6.18)

где – некоторая, специально подобранная, знакопостоянная на отрез-

ке , функция.

Тогда в итерационном процессе (3.6.14) функция имеет вид

. (3.6.19)

Для сходимости так построенного итерационного процесса функция должна быть подобрана из достаточного условия сходимости (3.6.16).

Метод простой итерации. В итерационном процессе можно, в частности, принять

, (3.6.20)

где – специально подобранное число (итерационный параметр).

Тогда алгоритм пересчета по методу простой итерации примет вид

, . (3.6.21)

Например, возможен следующий выбор параметра . Пусть на отрезке

существует только один корень, т.е. и не меняет знак на . Далее, пусть величина такая, что для всех . Тогда в качестве параметра можно взять значение . В этом случае имеем:

; , (3.6.22)

откуда . (3.6.23)

Для обеспечения на практике хорошей сходимости величина не должна сильно превышать по модулю значения . Как правило, существует более эффективное значение параметра , но его определение требует дополнительных оценок поведения функции и ее производной.

Метод Ньютона. Во многих случаях наиболее эффективным методом вычисления корня нелинейного уравнения является метод Ньютона. Он представляется частным случаем общего метода итераций, если принять

. (3.6.24)

Следовательно,

(3.6.25)

и алгоритм пересчета по методу Ньютона имеет вид

, . (3.6.26)

В данном случае

,

откуда можно заключить, что достаточное условие сходимости имеет вид

или . (3.6.27)

Заметим, что при достаточной близости начального приближения к корню уравнения метод Ньютона всегда сходится.

Рис. 3.6.3. Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Рис. 3.6.4. К выводу основной формулы метода Ньютона.

Рис. 3.6.3 дает геометрическую интерпретацию итераций по методу Ньютона, известного также как метод касательных, при заданном начальном приближении корня .

Выведем формулу для вычисления исходя из геометрических соображений. Из рис. 3.6.4 следует, что

, где .

Отсюда получается основная формула метода Ньютона:

, . (3.6.28)

Заметим, что в практических задачах критерием окончания счета часто является условие

. (3.6.29)

Величина

(3.6.30)

называется невязкой. Она свидетельствует, насколько точно удовлетворяется исходное уравнение.

Замечание. Заметим, что, помимо рассмотренных выше методов, для решения нелинейных уравнений на практике также применяются различные модификации метода Ньютона, метод Мюллера, метод Риддерса и многие другие.