3.5.5. Точность квадратурных формул.

Оценка точности квадратурных формул основывается на использова-

нии разложения подынтегральной функции в ряд. Приведем такую оценку, например, для формулы трапеций. Запишем представление функции рядом Тейлора относительно центра отрезка ,

.

Имеем:

,

откуда (интегралы при членах с нечетными производными равны 0),

.

Используя разложение в ряд Тейлора относительно средней точки для и , получим

.

Погрешность интегрирования оценивается разностью

Сумма таких погрешностей на всем интервале интегрирования может быть оценена формулой

.

Поскольку , окончательная оценка погрешности имеет вид:

, (3.5.19)

т.е. погрешность пропорциональна (второй порядок точности).

Следует отметить, что оценка справедлива лишь при существовании .

Аналогично получается оценка для формулы прямоугольников:

, (3.5.20)

т.е. имеет ту же порядковую точность, что и формула трапеций.

Погрешность вычисления интеграла по методу Симпсона, оцениваемая таким же образом, как и в случае метода трапеций, приводит к формуле

, (3.5.21)

т.е. имеет 4-й порядок точности. Если четвертая производная существует и невелика, то формула Симпсона очень точная, что выгодно при ручном счете. В общем случае, например для кусочно-линейных функций, формула Симпсона не всегда обеспечивает высокую точность.

3.5.6. Вычисление интеграла с заданной точностью.

Используя приведенные выше оценки погрешности вычислений инте-

грала можно априори (до проведения расчета) определить шаг интегрирования h, при котором погрешность вычисленного результата гарантированно не превысит допустимый уровень погрешности e. Однако на практике пользоваться априорными оценками погрешности не всегда удобно.

Обозначим через вычисленное приближенное значение интеграла (3.5.1) при разбиении отрезка на частей. При необходимости вычислить результат с заданной точностью вычисления повторяют с последовательно уменьшающимся (вдвое) шагом до тех пор, пока не выполнится условие окончание счета

. (3.5.22)

3.5.7. О современных методах численного интегрирования.

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции . Приведем ниже краткую характеристику классов наиболее распространенных методов.

Рассмотренные выше формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона относятся к методам Ньютона-Котеса, основанным на полиномиальной аппроксимации (интерполяции) подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которого зависит количество узлов, где необходимо вычислять функцию . В методах Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается, как правило, на отрезки равной длины, величина которых определяется как и называется шагом интегрирования. Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами. Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации применяются для обработки данных.

В методах наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса) используют неравноотстоящие узлы, расположенные так, чтобы обеспечить минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных (например, быстро осциллирующих) функций при заданном количестве узлов. Методы различаются способом выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Однако, по сравнению с методами Ньютона-Котеса, методы Гаусса более громоздки и требуют несколько больших объемов памяти ЭВМ.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, результат в итоге носит вероятностный характер. Методы оказываются особенно эффективны при вычислении кратных интегралов.