3.4.3. Понятие о методах решения проблемы собственных значений.

Под полной проблемой собственных значений понимается задача нахождения всех собственных значений матрицы , так же как и соответствующих этим собственным значениям собственных векторов.

Под частичной проблемой собственных значений подразумевается задача нахождения одного или нескольких собственных значений и соответствующих им собственных векторов.

Условно алгоритмы для задач на собственные значения можно разбить на две группы: прямые методы и итерационные методы [21,48,64].

Прямые методы предназначены, главным образом, для вычисления всех собственных значений и собственных векторов. Обычно прямые методы применяются к плотным (содержащим малое число нулевых элементов) матрицам, для решения полной проблемы собственных значений матрицы порядка n число операций будет пропорционально . Эта стоимость сравнительно нечувствительна к тому, каковы в действительности элементы матрицы. Заметим, что прямые методы тоже, в действительности, являются итерационными: задача вычисления собственных значений математически эквивалентна отысканию корней многочленов, что не может быть сделано посредством неитерационных методов. Будем здесь называть метод прямым, если на практике он (почти) всегда сходится за фиксированное число итераций.

Прямой метод, чаще всего используемый на практике в общем случае, – это QR-алгоритм с неявными сдвигами. Интересно, что после более чем 30 лет безупречной службы этого метода совсем недавно были обнаружены, проанализированы и исправлены некоторые ситуации его расходимости. Доказательства его глобальной сходимости все еще не существует, хотя современная версия метода считается очень надежной. Поэтому задача построения алгоритма, который был бы численно устойчив и при этом глобально (и быстро) сходился, остается открытой.

Итерационные методы обычно применяются к разреженным (содержащим большое число нулевых элементов) матрицам, либо к матрицам, которые доступны лишь через свои произведения с векторами. Использование итерационных методов может дать существенный выигрыш в меньшем объеме необходимой памяти и существенно меньшем объеме вычислительной работы. Как правило, итерационные методы дают приближения только для некоторого подмножества собственных значений и собственных векторов; обычно итерации продолжают лишь, пока не получены достаточно точные приближения нескольких (немногих) собственных значений. Характер сходимости методов этой группы сильно зависит от конкретных значений элементов матрицы. В качестве примеров итерационных методов можно указать метод Ланцоша, метод обратных итераций, метод Релея-Ритца, метод Дэвидсона, метод Якоби-Дэвидсона и другие [11,21,48,64]. К классическим простейшим итерационным методам относится степенной метод, изучаемый в последующих пунктах.

3.4.4. Определение максимального по модулю собственного числа степенным методом.

Степенной метод определения максимального собственного числа состоит в следующем.

Пусть для определенности

(3.4.11)

1) Задается (начальное приближение, нулевой шаг)

. (3.4.12)

2) Последовательно вычисляется по формулам k-го шага:

(3.4.13)

Вычисление ведется до тех пор, пока не станет

. (3.4.14)

Неравенство (3.4.14) часто называют условие окончания счета.

Тогда получим, что

. (3.4.15)

Представим ниже доказательство сходимости.

Процесс (3.4.13) можно представить формулой

, (3.4.16)

откуда, очевидно, следует

.

Вводя обозначение

, (3.4.17)

можем записать последнее равенство в виде:

. (3.4.18)

Пусть (см. свойство (3.4.9))

, (3.4.19)

откуда следует, что

Имеем (см. также (3.4.11)):

, поскольку для .

Следовательно, начиная с некоторого ,

. (3.4.20)

В результате можно записать следующее приближенное равенство

,

т.е. . (3.4.21)

С другой стороны, из определения числа следует

. (3.4.22)

Рассматривая совместно (3.4.21) и (3.4.22) можем записать

,

откуда .

Заметим, что существует обобщение вышеизложенного итерационного метода, которое позволяет вычислить максимальное по модулю собственное значение (положительность максимального собственного значения необязательна). Важным для сходимости является то, на сколько величина больше 1 для .