3.7.2. Применение мнк для решения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений.
Пусть дана СЛАУ порядка относительно неизвестных:
,
(3.7.11)
и при этом количество
неизвестных меньше количества уравнений:
.
В общем случае, такая система является
несовместной и не имеет точного решения.
Тогда можно найти оптимальное
решение,
т.е. такое, при котором сумма
(3.7.12)
достигает своего минимума.
Сумма
– функция
переменных. Для определения точки
минимума
(оптимального решения) повторяем
аналогичные выкладки из пункта 3.7.1:
.
Меняя порядок суммирования, получим
СЛАУ относительно оптимальных значений
:
,
(3.7.13)
или в векторно-матричной форме:
,
(3.7.14)
где коэффициенты матрицы и компоненты вектора правой части системы вычисляются по формулам
,
;
,
(3.7.15)
или
;
.
(3.7.16)
Пример 3.7.1. Пусть требуется найти оптимальное решение системы уравнений
Составим систему уравнений относительно оптимального решения
;
;
Полученная система имеет вид
Таким образом, имеем следующее оптимальное
решение рассматриваемой СЛАУ:
,
■.