3.1.6. Норма матрицы. Некоторые свойства матричных норм.
Определение матричной нормы эквивалентно определению векторной нормы.
Пусть A – произвольная вещественная матрица размером .
Функция
называется нормой вещественной матрицы, если она обладает следующими свойствами:
1)
,
причем
;
2)
,
где
– произвольное вещественное число;
3)
,
где B – произвольная
вещественная матрица размером
.
Чаще всего в вычислительной линейной алгебре используются норма Фробениуса и p-нормы равные соответственно
;
(3.1.49)
.
(3.1.50)
Заметим, что все матричные p-нормы определяются через векторные p-нормы, рассмотренные в предыдущем пункте. Вводимая так норма называется индуцированной, поскольку ее конкретный вид зависит от используемой нормы вектора. В частности, можно записать следующие нормы матрицы:
(3.1.51)
– максимальная сумма модулей элементов по столбцам;
(3.1.52)
– максимальная сумма модулей элементов по строкам;
,
(3.1.53)
где
– максимальное собственное число
матрицы
.
Для симметричной матрицы порядка n имеем:
,
(3.1.54)
где
– собственные значения матрицы A.
Заметим [18,30], что не все матричные нормы удовлетворяют мультипликативному свойству
,
(3.1.55)
где A
и B – вещественные
матрицы размером
и
соответственно.
p-Нормы обладают тем важным свойством, что для каждой вещественной матрицы A размером и произвольного вещественного вектора
n-го порядка выполняется неравенство
.
(3.1.56)
Нормы Фробениуса и p-нормы удовлетворяют определенным неравенствам, часто используемым в матричных вычислениях:
;
;
;
.
(3.1.57)
3.1.7. Число обусловленности матрицы.
Числом обусловленности матрицы A
по отношению к матричной норме
называется величина
(3.1.58)
Сформулируем ниже свойства числа обусловленности.
1.
.
(3.1.59)
2.
.
(3.1.60)
3.
.
(3.1.61)
4. Если
,
то по отношению к норме
,
(3.1.62)
где
и
– соответственно максимальное и
минимальное по модулю собственные
значения матрицы A.
5. Для всякой матрицы A число обусловленности относительно любой матричной нормы
.
(3.1.63)
6. Для всякой матрицы A
размером
и произвольных ортогональных матриц
и
размером
число обусловленности относительно
нормы
.
(3.1.64)
6. Для всякой невырожденной матрицы A размером и произвольной вырожденной матрицы B
.
(3.1.65)