3.1.3. Матрицы и операции над ними. Некоторые виды матриц.
Матрицей называется прямоугольная
таблица из чисел, содержащая некоторое
количество m строк и
некоторое количество n
столбцов (матрица размером
)
.
(3.1.11)
Числа m и n
называются порядками матрицы. В
случае
матрица называется квадратной,
а число
– ее порядком.
Числа
,
входящие в состав данной матрицы
называются ее элементами. В
записи
первый индекс
обозначает номер строки, а второй индекс
j – номер столбца.
В случае квадратной матрицы
(3.1.12)
вводятся понятия главной и побочной
диагоналей. Главной диагональю
матрицы (3.1.12) называется диагональ
,
идущая из левого верхнего угла этой
матрицы в правый нижний ее угол. Побочной
диагональю той же матрицы называется
диагональ
,
идущая из левого нижнего угла в правый
верхний угол.
Матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.
Для матриц определены следующие основные операции:
1. Сложение матриц по правилу
.
(3.1.13)
2. Умножение матрицы на число по правилу
.
(3.1.14)
Из формулы (3.1.13) непосредственно вытекает,
что операция сложения матриц обладает
переместительным свойством (
)
и сочетательным свойством (
).
В свою очередь, из формулы (3.1.14) ясно,
что умножение матрицы на число обладает
сочетательным свойством относительно
числового множителя (
),
распределительным свойством относительно
суммы матриц (
)
и распределительным свойством относительно
суммы чисел (
).
Разностью матриц A
и B одинаковых порядков
m и n
называется такая матрица C
тех же порядков m и n,
которая в сумме с матрицей B
дает матрицу A. Для
обозначения разности двух матриц
используется естественная запись
.
Перемножение матриц. Умножение
матрицы
размером
на матрицу
размером
производится по правилу:
,
где
,
;
.
(3.1.15)
Из сформулированного определения видно, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно число строк матрицы B.
Из формулы (3.1.14) вытекают следующие
свойства произведения матрицы A
на матрицу B: сочетательное
свойство (
)
и распределительное относительно суммы
матриц свойство (
или
.
Произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством, т.е. в общем случае
.
Умножение матрицы на вектор
определено как частный случай умножения
матрицы размером
на матрицу размером
.
Тогда,
если
,
то
,
.
(3.1.16)
Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю, т.е.
или
,
(3.1.17)
Можно проверить, что произведение
равносильно
умножению каждой i-ой строки матрицы
на число
,
т.е.
.
Аналогично, произведение
равносильно умножению каждого j-го столбца на число djj , т.е.
.
Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю, а все элементы, расположенные на главной диагонали равны единице, т.е.
.
(3.1.18)
Элементы единичной матрицы n-го порядка определяются формулой
;
.
(3.1.19)
Заметим, что в линейной алгебре часто используется величина, называемая символом Кронекера, которую определяют как
(3.1.20)
откуда
.
(3.1.21)
Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю, т.е.
.
(3.1.22)
Имеют место очевидные формулы:
;
.
(3.1.23)
Скалярной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы, расположенные на главной диагонали равны между собой.
Транспонированием любой матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования.
В результате транспонирования матрицы
A получается матрица,
называемая транспонированной по
отношению к матрице A
и обозначаемая
.
Элементы этой матрицы определяются
формулой
.
Можно проверить, что
.
(3.1.24)
Транспонированная вещественная матрица
часто называется сопряженной
к матрице A и
обозначается
.
Пусть A – квадратная матрица n-го порядка, а E – единичная квадратная матрица того же порядка.
Обратной матрицей по отношению
к матрице A называется
матрица, обозначаемая
и удовлетворяющая соотношению
.
(3.1.25)
Невырожденной матрицей называется матрица A для которой существует обратная матрица . В противном случае A называется вырожденной матрицей.
Некоторые свойства обратной матрицы играют важную роль в матричных вычислениях. Обратная к произведению матрица является произведением обратных к сомножителям, взятых в обратном порядке:
.
(3.1.26)
Транспонирование обратной матрицы – это то же самое, что обращение транспонированной:
.
(3.1.27)
Симметричной (симметрической) матрицей называется квадратная вещественная матрица A, если для нее выполняется равенство
.
(3.1.28)
Элементы
матрицы A в таком
случае обладают свойством
.
Отметим, что произведение двух симметричных матриц не всегда есть матрица симметричная.
Ортогональной матрицей называется квадратная вещественная матрица Q, для которой выполняется равенство
,
т.е.
.
(3.1.29)
Ортогональные матрицы обладают следующими свойствами.
1) Единичная матрица ортогональна.
2) Если матрица A
ортогональна, то матрица
тоже ортогональна.
3) Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица.