4.2. Диверсифицированный портфель

В экономике часто встречаются ситуации, когда субъект (фи­зическое лицо или фирма) должен выбрать одну из альтернатив. Существует экономическая теория, которая занимается изучени­ем процесса выбора, используя так называемую функцию полез­ности. Функция полезности описывает правило, по которому каж­дому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полезность данного варианта выбора». В графической форме функции полезности отражают кривые безразличия. На рис. 4.1 они выражены U₁; U₂; U_3. На горизонтальной оси откладываются значения риска, в на вертикальной – ожидаемые доходности. Кривые представляют собой портфели с различными комбинациями риска и доходности. Точки одной и той же кривой определяют значения риска и доходности для данного уровня полезности. Рассмотрим, например, два портфеля U и U^* на кривой U₁. Портфель U имеет большую доходность, но и больший по сравнению с U^* риск. При этом инвестору безразлично, какой из них выбирать. Наклон кривой безразличия означает, что с ростом риска инвестор требует его компенсации ростом доходности.

Кривые безразличия.

U₃

U₂

U₁

U₃

U₂ U

U₁ U^* Возрастание

полезности

Риск

Чем выше лежит кривая, тем больше полезность, поскольку по вертикали отложены доходности. Таким образом, из трех кривых кривая U₃ имеет наибольшую полезность, а кривая U₁ – наименьшую.

Все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора.

При формировании портфеля следует различать рисковые и безрисковые активы.

Рисковые активы — это активы, доходность которых в будущем неопределенна. Предположим, что инвестор покупает акции компании и планирует держать их один год. В момент покупки он не знает, какой доход получит в конце срока.

Тем не менее, активы, будущая доходность которых известна в момент погашения, существуют. Такие активы называются без­рисковыми активами.

Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, ум­ноженных на соответствующую вероятность их получения:

_n

E(r) = P₁ r₁ + P₂ r₂ + … + P_n r_n =  P_i

^{i = 1}

Предположим, что ожидаемая доходность акций А – r _а= 10% а акций В – r_в = 15%. Если весь капитал вложить в акции А, то ожидаемая доходность портфеля r_п = r _а = 10%. Если инвес­тировать капитал только в акции В, то ожидаемая доходность инвестиции составит: r_п = r_в = 15%. При инвестировании ка­питала в акции равными долями ожидаемая доходность портфеля будет равна средневзвешенной из доходности акций:

r_п = 0,5 • 10% + 0,5 • 15% = 12,5%.

По истечении года фактические значения доходности акций А и В, а следовательно, и портфеля в целом, возможно, будут не совпадать с их ожидаемыми зна­чениями.

Рискованность одного актива измеряется дисперсией или сред­ним квадратичным отклонением доходов по этому активу, а риск портфеля — дисперсией или средним квадратичным отклонени­ем доходов портфеля.

Риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рас­сматривается как ковариация актива с самим собой.

Дисперсия или вариация случайной величины служит мерой разброса ее значений вокруг среднего значения.

Формула для определения вариации доходности i-го актива, записывается следующим образом:

_n

_i² = var(r_i) =  P _m [ r _m – E(r_i)]² (4.2.2)

^{m =1}

Вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого откло­нения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределеннос­ти в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доход­ность как среднюю по всем возможным значениям.

_ij = p_ij _i _j , (4.2.4)

где p_ij обозначает коэффициент корреляции между доходностью на ценную бумагу i и ценную бумагу j. Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.

Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между – 1 и +1. Если он равен – 1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 — полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремаль­ными значениями.

Доходности двух ценных бумаг.

а) полная положительная б) полная отрицательная в) некоррелированные

корреляция между корреляция между доходности

доходностями доходностями

Доходность бумаги В Доходность бумаги В Доходность бумаги В

Доходность Доходность

бумаги А бумаги А

Доходности бумаги А

Пусть рынок может находиться в одном их трех состояний: I, II и III. Известны вероятности этих состояний и доходности трех активов в процентах.

Состояние	Вероятность	Доходность r1 первого актива	Доходность r2 второго актива	Доходность r3 второго актива
I	0,3	30	40	- 30
II	0,5	20	10	10
III	0,2	10	- 30	20

Находим математические ожидания доходности каждого из активов по формуле:

M(r₁) = 30 • 0,3 + 20 • 0,5 + 10 • 0,2 = 21,

М(r₂) = 40 • 0,3 +10 • 0,5 + (-30) • 0,2 = 11,

М(r₃) = (-10) • 0,3 + 10 • 0,5 + 20 • 0,2 = 6.

Находим коэффициенты Кij ковариационной матрицы:

К₁₁ = cov(r_1,r₁) = ²(r₁) = (30 - 21)² 0,3 + (20 - 21)² 0,5 + (10 - 21)² 0,2 = = 49;

К₁₂ = К₂₁ = cov(r_1,r₂) = (30 – 21) (40 – 11) 0,3 + (20 – 21) (10 – 11) 0,5 + + (10 – 21) (- 30 – 11) 0,2 = 169;

К₁₃ = К₃₁ = cov(r_1,r₃) = (30 – 21) (- 10 – 6) 0,3 + (20 – 21) (10 – 6) 0,5 + + (10 - 21) (20 – 6) 0,2 = - 76;

К₂₂ = cov(r_2, r₂) = ²(r₂) = (40 - 11)² 0,3 + (10 - 11)² 0,5 + (-30 - 11)² 0,2 = = 757,2;

К₂₃ = К₃₂ = cov(r_2,r₃) = (40 – 11) (- 10 – 6) 0,3 + (10 – 11) (10 – 6) 0,5 + + (-30 - 11) (20 – 6) 0,2 = - 256;

К₃₃ = cov(r_3,r₃) = ²(r₃) = (-10 - 6)² 0,3 + (10 - 6)² 0,5 + (20 - 6)² 0,2 = = 124.