4. Способы преобразования проекций

Рассмотрим два способа преобразования:

1. Способ замены плоскостей проекций.

2. Способ перемещения геометрических объектов.

При решении задач способом замены плоскостей проекций положение геометрических объектов не изменяется. Изменяется положение плоскостей проекций, чтобы при новых условиях проецирования эти геометрические объекты имели бы частное положение.

При решении задач способом перемещения положение плоскостей проекций не изменяется. Геометрические объекты перемещаются в пространстве до принятия частного положения по отношению к данной системе плоскостей проекций.

4.1. Замена плоскостей проекций

Сущность способа заключается в следующем: 1) Положение геометрического объекта не меняется по отношению к старой системе плоскостей проекций; 2) Новая система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций выбирается так, чтобы рассматриваемый геометрический объект оказался бы в частном положении по отношению к одной из плоскостей новой системы; 3) Направление проецирования сохраняется ортогональным.

На рис.4.1 показана схема построения новых (дополнительных) проекций точек А и В.

В системе плоскостей проекций П₂  П₁ заданы точки А(А₁, А₂) и В(В_1, В₂).

Для замены фронтальной плоскости проекций введена новая плоскость П₄  П₁. Расстояние от точки А до плоскости П₁ при замене не меняется: Z_A = const, A₁ = const. Проекция А₄ точки а на плоскость П₄ находится на линии проекционной связи, перпендикулярной дополнительной оси Х₁₄, на расстоянии Z_А от нее, равном расстоянию от точки А до плоскости проекций П₁. Z_А определяется по основному чертежу как расстояние от проекции А₂ до оси X_12­.

Для замены горизонтальной плоскости проекций введена новая плоскость проекций П₅  П₂. Расстояние от точки В до неизменной плоскости проекций П₂ не изменяется: Y_B = const, B₂ = const. Проекция В₅ на плоскость П₅ находится на линии проекционной связи, перпендикулярной новой оси координат Y_25, на расстоянии Y_А от нее.

Рис. 4.1

Замена одной из плоскостей проекций не всегда приводит к решению задачи. Иногда приходится заменять две и более плоскостей проекций.

Пример 4.1. Перевести отрезок прямой АВ из общего положения в проецирующее. (рис. 4.2).

Первая система плоскостей проекций. Перейдем от системы плоскостей П₁  П₂ к системе П₁  П₄, заменив П₂ на П₄ так, чтобы АВ || П_4. Новая ось X₁₄ проведена параллельно проекции А₁В₁, при этом П₄ || АВ. Из А₁ и В₁ перпендикулярно X₁₄ проведем линии проекционной связи, на них отложим отрезки, равные Z_A и Z_В. Получим новую проекцию, равную натуральной величине отрезка - А₄В₄=|АВ|.

В

торая замена плоскостей проекций. Плоскость П₁ заменяем на П₅ так, чтобы отрезок АВ стал проецирующим - АВ  П₅. Для этого проведем новую ось X₄₅  А₄В₄ и на линии проекционной связи, являющейся продолжением проекции отрезка А₄В₄, отложим отрезки, равные расстояниям от заменяемой оси координат X₁₄. Так как эти отрезки равны, то получаем одну точку А₅  В_5, являющуюся проекцией отрезка АВ на плоскость П₅.

Рис. 4.2

Рис. 4.2

Пример 4.2. Найти натуральную величину ∆ АВС и угол наклона его плоскости к плоскости проекций П₁ (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Выберем новую плоскость проекций П₄, перпендикулярную плоскости треугольника АВС, а на чертеже – перпендикулярную горизонтали АК плоскости треугольника - П₄  ∆ АВС, П₄  АК, АК  ∆АВС, АК || П₁.Проводим новую ось координат X₁₄  А₁К₁. Имеем систему взаимно перпендикулярных плоскостей П₁  П₄. Плоскость ∆ АВС по отношению к плоскости П₄ будет проецирующей. Проводим линии проекционной связи от точек А₁, В₁ и С₁ и откладываем координаты Z вершин треугольника от новой оси X₁₄, получаем проекции точек А_4, В₄, С₄. Проекции ∆ АВС на П₄ – прямая С₄ В₄, составляющая с осью X₁₄ угол, равный натуральной величине угла между плоскостью треугольника и плоскостью П₁ – угол φ.

Чтобы найти натуральную величину треугольника вместо плоскости П₁ вводим новую плоскость П₅ плоскости треугольника. Параллельно проекции треугольника С₄ В₄ проводим новую ось X₄₅. На линиях проекционной связи отложим от новой оси отрезки, равные расстояниям от заменяемых проекций вершин А₁, В₁, С₁ до заменяемой оси X₁₄. А₅В₅С₅ – натуральная величина треугольника. А₅В₅С₅ = |АВС|

Задача 4.1. Определить натуральную величину отрезка АВ и угол ψ его наклона к плоскости П1.	Задача 4.2. Определить расстояние от точки А до плоскости ∆ ВСD.
Задача 4.3. Построить проекции центра окружности, описанной вокруг треугольника АВС общего положения.	Задача 4.4. Найти расстояние между параллельными прямыми АВ и СD.