2. Позиционные и метрические задачи. Относительное расположение прямой и плоскости, двух плоскостей

Позиционными называются задачи на определение каких-либо общих элементов различных геометрических объектов.

3.1. Пересечение прямой линии и плоскости

Пример 3.1. Найти точку пересечения прямой МN с плоскостью ∆ АВС. Определить видимость MN (рис. 3.1).

Для нахождения точки пересечения:

1) через прямую проводим вспомогательную фронтально проецирующую плоскость  MN  ,   П₂;

2

) определяем линию пересечения этой плоскости с плоскостью ∆ АВС;

3) точка К находится как точка пересечения данной прямой MN с линией пересечения плоскостей  и ∆ АВС.

Видимость прямой определяется по правилу конкурирующих точек. Точка пересечения всегда видима и является границей видимости. Горизонтально проецирующийся луч пересекает MN в точке 3, а сторону АС – в точке 4.

Точка 3 находится дальше от П₁, чем точка 4,  на П₁ участок (М₁ – К₁) виден.

Ф

Рис. 3.1

ронтально проецирующий луч пересекает МN в точке 5, а сторону ВС – в точке 2. Точка 5 находится от плоскости П₂ дальше, чем точка 2,  участок (К₂ – N₂) виден на П₂.

Задача 3.1. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью .	Задача 3.2. Найти точку пересечения прямой MN с плоскостью, заданной точкой А и прямой ВС. Определить видимость прямой.
Задача 3.3. Найти точку пересечения прямой KN с плоскостью ∆ АВС. Определить видимость прямой.	Задача 3.4. Найти точку пересечения прямой MN с плоскостью  (АВ || CD). Определить видимость прямой.
Задача 3.5. Построить проекции точки пересечения прямой MN с плоскостью ∆ АВС.	Задача 3.6. Найти точки пересечения прямой АВ с гранями пирамиды, которые следует рассматривать как плоскости, заданные треугольником.

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000

2. Пересечение плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, которую можно построить по двум общим точкам. Видимость прямых, расположенных в пересекающихся плоскостях, определяется по конкурирующим точкам.

Пример 3.2. Построить проекции линии пересечения треугольников АВС и DEF. Определить видимость треугольников относительно плоскостей проекций (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Линия пересечения треугольников К – М строится по точкам пересечения сторон АВ и АС треугольника АВС с плоскостью другого треугольника.

Для определения точки К пересечения стороны АВ с ∆ DEF: 1) через сторону АВ провести фронтально проецирующую плоскость ; 2) построить линию пересечения этой плоскости с плоскостью ∆ DEF; 3) точка К находится на пересечении линии (1 – 2) со стороной АВ треугольника АВС.

Аналогично определена точка М с помощью проведения вспомогательной фронтально проецирующей плоскостью β через сторону АС треугольника АВС.

Чтобы определить видимость треугольников на горизонтальной плоскости проекций, проведем горизонтально проецирующую прямую, пересекающую стороны АС и DE данных треугольников. Эта проецирующая прямая пересекает DE в точке 5, а АВ – в точке 6. Точка 5  DE и дальше отстоит от плоскости проекций П₁, чем точка 6  АВ. Следовательно, стороны D₁E₁ в П₁ полностью видима, а сторона А₁В₁ на участке (6_1­ – К₁) невидима. Этого достаточно для определения видимости в П₁ остальных сторон треугольника.

Для определения видимости треугольников на фронтальной плоскости проекций проведем фронтально проецирующую прямую, пересекающую стороны EF и АС данных треугольников. Эта проецирующая прямая пересекает EF в точке 4, а АС – в точке 7. Точка 4  EF дальше отстоит от П₂, чем точка 7  АС. Следовательно, сторона E₂ F₂ в П₂ полностью видима, а сторона А₂ С₂ на участке (М₂ – 7₂) невидима. Этого достаточно для определения видимости треугольников во фронтальной плоскости проекций.

Задача 3.7. Построить проекции линии пересечения ∆ АВС и параллелограмма KLMN. Определить видимость фигур.	Задача 3.8. Найти линию пересечения плоскостей, заданных треугольником АВС и четырехугольником DEFG.
Задача 3.9. Через точку М провести фронтально проецирующую плоскость  под углом φ = 60 к П1. Построить линию пересечения плоскости  с ∆ АВС. Определить видимость фигур.	Задача 3.10. Построить линию пересечения плоскостей, заданных ∆ АВС и параллельными прямыми ED и FG.