2.3. Длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций

Способ прямоугольного треугольника. Натуральная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на любую плоскость проекций, а другим- разность расстояний концов отрезка от той же плоскости проекций.

Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен натуральной величине угла наклона отрезка к той же плоскости проекций, на которой выполнены построения.

Пример 2.4. Определить натуральную величину отрезка АВ и углы его наклона к плоскостям проекций (рис.2 10).

1) Горизонтальная проекция А₁В₁- катет прямоугольного треугольника.

2) Второй катет этого же треугольника равен разности удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций П₁- ∆Z_АВ. Получим прямоугольный треугольник А₁В₁В', А₁В′=|АВ|, А₁В ^А₁В'=АВ ^ П₁=φ – угол наклона к горизонтальной плоскости проекций.

3) Определим угол наклона отрезка к фронтальной плоскости проекций.

Рис. 2.21

Рис. 2.10

А₂В₂-катет прямоугольного треугольника, второй катет равен разности расстояний концов отрезка от фронтальной плоскости проекций-∆Y_АВ. Получаем прямоугольный треугольник А₂В₂А'. В₂А'=|АВ|, А₂В₂^А'В₂=АВ^П₂=ψ

Координаты, определяющие разность удалений концов отрезка могут иметь разные знаки. В этом случае надо иметь в виду алгебраическую разность.

Задача 2.11. Определить расстояние от точки М до фронтали АВ.	Задача 2.12. Построить горизонтальную проекцию отрезка ВС, если его длина равна 60 мм.
Задача 2.13. На прямой АВ отложить отрезок АС длиной 15 мм.	Задача 2.14. Найти натуральную величину отрезка прямой АВ и углы наклона прямой к плоскостям проекций П1 и П2.

Задача 2.15. Построить три проекции отрезка АВ, один конец которого расположении на оси ОX на расстоянии 30 мм от П₃, а другой конец – на расстоянии 20 мм от П_1, П₂ и П₃. Определить натуральную величину отрезка.

Задачи, решение которых связано с определением (измерением) линейных и угловых величин геометрических фигур, называются метрическими.

4. Взаимное положение двух прямых

Пересекающиеся прямые – это прямые, имеющие общую точку. На рис. 2.11 а

k₁∩l₁=А₁, k₂∩l₂=А₂, А→(А₁А₂)=>k∩l

Параллельные прямые – рис. 2.27 б m₁||n₁ ^ m₂||n_2.

При параллельности одноименных проекций двух профильных прямых нельзя утверждать, что они параллельны в пространстве. Для выяснения необходимо построить их профильные проекции.

Скрещивающиеся прямые – прямые не пересекающиеся и не параллельные между собой, находятся в разных плоскостях. Проекции скрещивающихся в пространстве прямых в зависимости от их расположения относительно плоскостей проекций могут пересекаться или быть параллельными (рис.2.11в,г).

а б в г

Рис.2.11

На рис 2.11в прямые m и n скрещиваются. Точка пересечения горизонтальных проекций А­₁≡В₁; Аn, Вm – конкурирующие точки относительно П₁. Видимой является та, которая расположена дальше от плоскости П₁ –точка А, т.к. Z_А>Z_В.

Фронтальные проекции этих прямых пересекаются в точке С₂≡D₂; Cm, Dn – конкурирующие точки относительно П₂. Видимой на фронтальной проекции является точка С, расположенная дальше от П₂, Y_C>Y_D.

На рис. 2.11г фронтальные проекции k₂ и l₂ скрещивающихся прямых k и l параллельны k₂ || l₂, горизонтальные проекции k₁ и l₁ пересекаются в точке Е₁≡F₁; Ek, Fl. Z_E>Z_F=>E – видимая на П₁ точка.

Пример 2.5. Через точку Е (рис. 2.12а) провести прямую, пересекающую заданные прямые АВ и CD.

а б

Рис.2.12

Искомая прямая должна удовлетворять условиям: проходить через точку Е; пересекать прямую АВ; пересекать прямую CD. Поэтому на чертеже:

- проекции прямой должны пройти через соответствующие проекции точки Е;

- горизонтальная проекция прямой должна пройти через точку, являющуюся горизонтальной проекцией прямой АВ;

- точки пересечения проекций искомой прямой с одноименными проекциями прямой CD должны лежать на одном | к оси проекций.

1) Сначала строим горизонтальную проекцию искомой прямой через точки Е₁ и А₁≡В₁ (рис.2.12 б).

2) Отмечаем точку пересечения с прямой CD- точку F₁.

3) Находим F₂ на C₂D₂.

4) Через точки F₂ и Е₂ проводим прямую – фронтальную проекцию искомой прямой. Точки К₁ и К₂ – проекции точки пересечения искомой прямой с прямой АВ.

Задача 2.16. Провести через точку А прямую, пересекающую прямые m и n.	Задача 2.17. Построить проекции параллелограмма АВCD.
Задача 2.18. Пересечь прямые АВ, CD и EF прямой, параллельной П1.	Задача 2.19. Определить расстояние между параллельными прямыми АВ и CD.