2. Задание точки, отрезка прямой, плоскости на комплексном чертеже

Все линии и поверхности можно представить как совокупность точек, поэтому базовые понятия и правила проецирования изучаются на примере построения проекций точки.

2.1. Ортогональные проекции точки

Положение точки в пространстве рассматривается относительно взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П₁ _|_ П₂ _|_ П₃, которые пересекаются по осям координат ОХ _|_ ОУ _|_ ОZ (рис. 2.1).

Расстояние от точки до плоскостей проекций - координаты точки – Х, У, Z – А (X,Y,Z).

На комплексном чертеже две проекции точки А: А₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и А₃ лежат на одном перпендикуляре и соответствующей оси координат, проходящих через точки А_х, А_у, A_z (рис. 2.2).

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Две проекции точки вполне определяют положение точки в пространстве. По ним можно построить её третью проекцию.

Горизонтальная проекция точки имеет координаты X и Y, фронтальная X и Z, профильная Y и Z.

Пример 2.1. Построить проекции точки А, удалённой от горизонтальной плоскости П₁ на 30мм, от фронтальной плоскости П₂ – на 20мм, от профильной плоскости проекций П₃ – на 50мм. (рис. 2.3)

1 )На оси координат ОХ отложим влево(положительное направление) отрезок ОА_х = Х=50.

2)Через полученную точку А_х проведём линию проекционной связи, перпендикулярную оси ОХ.

3)На ней от точки А_x отложим вниз отрезок А₁А_х = У= 20. Полученная точка А₁ – искомая горизонтальная

проекция точки А.

4)Для построения фронтальной проекции А₂ от т. Ах отложим вверх отрезок А_xА₂ = Z= 30.

Рис.2.3

А (30,20,10)

В (20,0,30)

С (10,30,0)

Д (40,0,0)

А (10,20,-10)

В (20,-20,-40)

С (30,-30,-30)

Задача 2.1. Построить проекции точек Задача 2.2. Построить проекции точек

по координатам: по координатам:

Задача 2.3. По заданной эпюре точек А, В, С и D определить их координаты и построить профильные проекции.

Задача 2.4. Изобразить наглядно положения точек по их координатам А(13,16,20), В(10,-15,-7), С(0,4, -11).

2.2. Прямые частного и общего положения. Следы прямой

Прямой частного положения называется прямая, перпендикулярная или параллельная плоскостям проекций.

На рисунке 2.4 показаны прямые, параллельные плоскостям проекций – линии уровня. Прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонталью (или горизонтальной прямой, или горизонтальной линией уровня).

Горизонтальная проекция А₁В₁ равна натуральной величине отрезка АВ. Угол между А₁В₁ и осью ОX равен натуральной величине угла между горизонталью АВ и фронтальной плоскостью проекций П₂. АВ||П₁=>А₁В₁=‌|АВ|, А ₁В ₁ ^ОX=АВ^П ₂=ψ.

Прямая, параллельная фронтальной

плоскости проекций П₂ – фронталь.

CD || П₂ =>C₂ D₂ =|CD|, CD^OX=CD^П₁=φ.

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций П₃ – профильная прямая. EF || П₃ =>E₃F₃= |EF|, E₃F₃ ^OY= EF^П₁=φ, E₃F₃^OZ=EF^П₂=ψ.

Рис. 2.4

На рисунке 2.5 изображены прямые, перпендикулярные плоскостям проекций – проецирующие прямые.

Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П_1, называется горизонтально-проецирующей прямой, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂ – фронтально-проецирующей, перпендикулярная профильной плоскости проекций – профильно-проецирующей.

AB | П₁=>А₁ ≡В₁, A₂B₂=|AB|^AB || П₂;

СD | П₂=>C₂≡D₂, C₁D₁=|CD|^CD || П₁; EF | П₃=>E₃≡F_3, E₁F₁=E₂F₂=|EF|^EF || П₁, EF || П_2.

Рис.2.5 Рис. 2.6

Прямая, не перпендикулярная и не параллельная плоскости проекций, называется прямой общего положения (рис.2.6).

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. Пересечение прямой с горизонтальной плоскостью проекций П₁ называется горизонтальным следом прямой, с фронтальной плоскостью проекций П₂- фронтальным следом прямой.

а б Рис. 2.7

На рис. 2.7а,б прямая m, проходящая через точки А и В, пересекается с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций. АВ ∩ П₁ = М, АВ ∩ П₂ = N

Точка М прямой m имеет аппликату Z_m = 0.

След прямой (точка М) и горизонтальная проекция М₁ совпадают М≡М₁, фронтальная проекция М₂ точки М находится на оси координат ОX – М₂ OX. Точка N прямой m имеет координату Y_N=0. След прямой (точка N) и ее фронтальная проекция N₂ совпадают – N ≡ N_2, N₁ OX.

Пример 2.2. Из точки А (45,20,10) провести отрезок фронтали АВ длиной 50мм, восходящей вправо под углом 45 к плоскости П₁ (рис. 2.8).

Строим проекции точки А: А₁ и А₂. По представлению в пространстве отрезка фронтали и в соответствии с характерными признаками расположения его проекции, сначала строим фронтальную проекцию А₂В₂, равную натуральной величине отрезка, под углом 45 к оси ОX, а затем его горизонтальную проекцию А₁В₁ (А₁В₁ || OX).

Рис 2.12

Рис. 2.10

Рис. 2.8

Пример 2.3. Построить следы прямой, проходящей через точки А и В (рис. 2.9 а,б).

а б

Рис.2.9

Проводим проекции А₂В₂ и А₁В₁ прямой АВ. Для построения ее горизонтального следа продолжаем фронтальную проекцию АВ до пересечения с осью OX. Точка М₂- фронтальная проекция горизонтального следа прямой. Из точки М₂ проводим | к оси OX (линию связи) до пересечения с продолженной горизонтальной проекцией прямой, точка М₁-горизонтальная проекция горизонтального следа прямой. Точка М₁ совпадает с самим горизонтальным следом прямой- точкой М.

Для построения фронтального следа прямой продолжаем ее горизонтальную проекцию А₁В₁ до пересечения с осью OX, точка N₁-горизонтальная проекция фронтального следа прямой. Из точки N₁ проводим | к оси OX до пересечения с продолженной проекцией А₂В₂, точка N₂- фронтальная проекция фронтального следа прямой. Точка N₂ совпадает с самим фронтальным следом прямой – точкой N.

Задача 2.5. Через точку А провести горизонталь длиной 30 мм, составляющую с плоскостью П2 угол ψ =30º, через точку С- фронталь длиной 35 мм, составляющую с П1 угол φ =45º.

Задача 2.6. Через точку А провести отрезок горизонтально проецирующей прямой длиной 25 мм, через точку С- отрезок фронтально проецирующей прямой длиной 15 мм.

Задача 2.7. На прямой, проходящей через точки А и В, построить точку С, удаленную от П1 на 20 мм, точку D, удаленную от П2 на 15 мм, точка М П1.	Задача 2.8. Найти следы прямой, проходящей через точки А и В.
Задача 2.9. Найти следы прямых, проходящих через точки А, В и С, D.	Задача 2.10. Через середину отрезка АВ провести профильную прямую под углом 30 к плоскости проекций П1.