1. Виды проецирования

Центральное проецирование (рис. 1.1). Проецирующие лучи проводятся из одной точки S- центра проекций. П₁ – плоскость проекций, точки А, В,С,D – точки пространства, DП₁; А₁,В_1, С_1,D₁ – центральные проекции точек А,В,С,D на плоскость проекций П₁; SA, SВ – проецирующие лучи; D₁ = D.

Аппарат центрального проецирования – плоскость П₁ и центр проекций S

Рис. 1.1 Рис.1.2

П араллельное проецирование (рис. 1.2). Проецирующие лучи параллельны направлению проецирования S. П₁ – плоскость проекций, точки А,В,С,D,Е – точки пространства, DП₁; А _1,В_1,С_1,D_1,Е₁ – параллельные проекции точек А,В,С,D,Е на плоскость П₁; В₁ ≡ Е₁ ; D ≡ D₁.

В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций параллельное проецирование разделяют на косоугольное и прямоугольное (ортогональное).

Выводы:

1. Каждой точке пространства соответствует одна единственная проекция на плоскости П₁.

2. Одна проекция точки не определяет положения точки в пространстве.

1.2. Инвариантные свойства параллельного проецирования

В общем случае при параллельном проецировании метрические характеристики геометрических объектов нарушаются: происходит искажение линейных и угловых величин.

Сохраняются следующие свойства:

1. Проекция точки, есть точка – А → А_1.

2. Проекция прямой линии есть прямая, за исключением прямой, направление которой совпадает с направлением проецирования (рис. 1.3.) – m → m₁, n || S ^ n →N_1.

3. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой. А  m => А₁  m_1.

4. Если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении. В  АС => АВ:ВС = А₁В:В₁С_1.

5. Проекции отрезков параллельных прямых параллельны и их длины находятся в том же отношении, как и длины проецируемых отрезков (рис. 1.4).

АВ||СD => А₁В₁ ||‌‌С₁D₁^ АВ:СД = А₁В₁:С₁Д_1.

Рис.1.3 Рис.1.4

6. Проекции пересекающихся прямых пересекаются. Точка пересечения проекции двух пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения прямых (рис. 1.5). К= АВ ∩ CD => К₁ = А₁В₁ ∩ С₁D₁^ К → К_1.

7. При прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а другая не перпендикулярна ей (рис. 1.6). АВ _|_ ВС ^ ВС || П_1, сторона АВ не перпендикулярна П₁ => А₁ В₁ _|_ В₁С_1.

Рис.1.5 Рис.1.6

8. Проекции двух скрещивающихся прямых в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться, или быть параллельными (рис. 1.7, 1.8).

Рис.1.7 Рис.1.8

9. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения. ∆ АВС || П₁ => ∆ А₁ В₁ С₁ = |∆ АВС|.

10. При параллельном перемещении фигуры или плоскости проекций изображение фигуры на этой плоскости не изменятся.