6. Поверхности вращения

Многое, что окружает нас, с позиции геометрии – это линии и поверхности простых и сложных форм. В начертательной геометрии кривые линии и поверхности задаются графически ортогональными проекциями.

Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки в пространстве или как множество точек, расположенных в пространстве в соответствии с некоторым законом. Кривая линия может быть получена как результат пересечения плоскостью кривой поверхности или кривых поверхностей между собой.

Кривая линия называется плоской, если все составляющие ее точки лежат в одной плоскости, и пространственной – в противном случае. К плоским кривым относятся, например, окружность, эллипс, гипербола, парабола. Примерами пространственных кривых служат винтовая линия, линия пересечения боковой поверхности конуса и сферы, оси которых не совпадают.

6.1. Поверхности вращения. Принадлежность точки поверхности

Поверхности вращения образованы вращением образующей вокруг неподвижной оси. Формой образующей определяется форма поверхности.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Конус – образующая L пересекает ось вращения в точке S. На рис. 6.1 по заданным проекциям А₁ и В₂ точек, принадлежащих конической поверхности, надо было найти проекции А₂, В₁. Построение выполнено при помощи крайней правой образующей S – A и образующей S – 1, проведенной через точку В. Можно построить недостающую проекцию точки В и с помощью параллели радиуса R.

Цилиндр – образующая L параллельна оси вращения. На рис. 6.2 для построения проекций точек кривой линии m, принадлежащей поверхности цилиндра, использованы образующие цилиндра, проходящие через точки кривой.

Рис. 6.3 Рис. 6.4

Сфера – центр О образующей окружности находится на оси вращения. На рис. 6.3 по фронтальной проекции найдены горизонтальные проекции точек А, В, С, принадлежащих поверхности сферы. А₁ построена по условию принадлежности точки главному меридиану сферы. Точка В принадлежит экватору сферы. Для определения С₁ построена горизонтальная проекция параллели, проходящей через точку С, - окружность радиуса R.

Тор открытый – центр О образующей меридиональной окружности L не находится на оси вращения. Расстояние от оси вращения до центра окружности больше радиуса окружности. На рис. 6.4 показано построение проекций точек, принадлежащих поверхности. Точки А и В расположены на экваторе тора. Фронтальной проекции точки С₂ точки С соответствуют две горизонтальные проекции С₁ и С₁' на задней и передней части тора, расположенные на параллелях радиусов R и R'.

Задача 6.1. Построить проекции кривой линии, принадлежащей поверхности конуса и проходящей через точки А, В, С. Точка А (Z = 20) лежит на левой крайней образующей конуса. Точка В принадлежит образующей SM. Точка с задана фронтальной проекцией С2.

Задача 6.2. Построить недостающие проекции точек А,В и С, принадлежащие поверхности открытого тора. Указать видимость точек относительно плоскостей проекций.

Задачи 6.3, 6.4. Построить недостающую проекцию линии АВ на поверхности цилиндра, тора. Определить видимость линии.