5.2. Пересечение многогранников прямой линией и плоскостью

Для построения точек пересечения отрезка прямой с поверхностью многогранника, также как в задаче о пересечении прямой и плоскости, необходимо через заданную прямую провести вспомогательную плоскость частного положения и определить сечение заданной поверхности проведенной плоскостью. Точки, в которых прямая пересечется с сечением, будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностей многогранника.

Пример 5.2. Построить точки пересечения прямой m с поверхностью треугольной пирамиды (рис 5.2). Определить видимость прямой. I, II = m ∩ Ф - ?

1. Через прямую m проведем фронтально-проецирующую плоскость α. m  α  П₂.

2. Плоскость α пересекает ребра пирамиды Ф в точках 1,2,3. (1-2-3) = α ∩ Φ.

3. Прямая m пересекается с сечением (1-2-3) в точках I, II, которые являются искомыми. I, II = m ∩ (1-2-3).

4. Видимость прямой m в проекциях определяем способом конкурирующих точек. Поверхность пирамиды рассматриваем как непрозрачную оболочку.

Рис. 5.2

При сечении многогранников плоскостями получают плоские многоугольники, число сторон которых равно числу пересеченных граней. Стороны и вершины этих многоугольников представляют собой линии и точки пересечения граней и ребер многогранников с секущими плоскостями.

Таким образом, решение задач на построение сечений многогранников плоскостями сводится к определению линии пересечения двух плоскостей и точки пересечения прямой с плоскостью.

Форма многоугольника, полученного при сечении многогранника плоскостью, зависит от ее положения относительно основания многогранника. Секущая плоскость может быть параллельна, перпендикулярна или наклонена к основанию многогранника. В первом случае фигура сечения будет равна (для призмы) или подобна (для пирамиды) основанию.

Когда секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскостей проекций, фигура сечения проецируется с искажением. Поэтому, если требуется определить натуральный вид сечения, то следует применять один из способов преобразования проекций.

Для построения линии пересечения многогранника плоскостью общего положения необходимо преобразовать способом замены плоскостей проекций заданную плоскость в проецирующую. Для этого выбирается новая плоскость проекций, перпендикулярная данной плоскости и строится новый след плоскости (если она задана плоской фигурой, то – новая проекция этой фигуры) и новая проекция многогранника. Относительно плоскостей проекций заданная плоскость станет проецирующей и задача решается как в приведенном примере.

Пример 5.3. Построить три проекции контура сечения и его истинной величины при пересечении фронтально-проецирующей плоскостью α прямой треугольной призмы (рис. 5.3).

1. Так как α  П₂, то фронтальная проекция плоской фигуры сечения - отрезок прямой линии. Обозначаем ее вершины - А₂=D₂, В₂, С₂ – точки пересечения плоскости α с ребрами призмы.

2. Для построения их горизонтальных и профильных проекций достаточно провести соответствующие линии проекционной связи, так как грани призмы и плоскость α занимают частные положения. Дополнительную линию проводим лишь при построении профильной проекции точки А.

3

. Строим линии пересечения граней призмы с плоскостью α, т. е. проекции четырехугольника АBCD. Определяем видимость тех его сторон, изображения которых не совпадают с проекциями граней пирамиды.

4. Фигура сечения изображена на основных плоскостях проекций с искажением. Ее истинную величину получаем проецированием на дополнительную плоскость, параллельную плоскости α, выполняя замену плоскостей проекций.

Рис. 5.3

Задача 5.5. Построить три проекции усеченной несколькими плоскостями призмы

Задача 5.6. Построить натуральный вид сечения призмы плоскостью α.

Задачи 5.7, 5.8. Построить проекции точек пересечения отрезка МN с поверхностями пирамиды и призмы. Определить видимость отрезка

Задача 5.9. Построить точки пересечения прямой МN и пирамиды.	Задача 5.10. Построить сечение треугольной призмы горизонтально-проецирующей плоскостью α.
Задача 5.11. Построить три проекции усеченной несколькими плоскостями пирамиды.	Задача 5.12. Построить проекции фигуры сечения и определить ее натуральную величину при пересечении прямой четырехугольной пирамиды SABCD фронтально-проецирующей плоскостью α.

Задача 5.13. Построить линию пересечения поверхности пирамиды SABC плоскостью общего положения, заданную треугольником MNL.