1. Профилирование сопла

Требуется рассчитать и построить профиль сопла (зависимость площади поперечного сечения и диаметра от продольной координаты, отсчитываемой от входа в сопло), работающего в расчетном режиме, то есть без скачков. Течение газа через сопло в отсутствие скачков является изоэнтропийным (в принятых допущениях адиабатного движения идеального совершенного газа), таким образом параметры торможения, заданные во входном сечении, сохраняются неизменными по всей длине сопла, вплоть до выхода. Найдя отношение (индекс “1р” означает расчетный режим), сравним это безразмерное выходное давление с безразмерным критическим давлением , определив его по формуле (11). Если выполняется неравенство , то на выходе из сопла в расчетном режиме должен быть сверхзвуковой поток, следовательно, сопло, которое мы рассчитываем, - это сопло Лаваля.

Обычно расширяющуюся часть сопла проектируют в виде конуса в случае осесимметричного сопла (поперечное сечение – круг), то есть образующие сверхзвуковой части- прямые линии; диаметр сопла линейно пропорционален длине. Угол раствора a, упомянутый в условиях – это угол между двумя образующими (рис.2). Таким образом, чтобы построить расширяющуюся часть сопла, зная угол, достаточно найти в двух сечениях диаметры. Найдем площади (а через них и диаметры, предполагая сопло в сечении круглым) в критическом и выходном сечениях.

Для определения площади критического сечения воспользуемся уравнением сохранения массового расхода (13), записав его для критического сечения:

. (20) Критическую скорость, совпадающую с критической скоростью звука определим по формуле (12). Плотность в критическом сечении найдем по (10), предварительно выразив плотность заторможенного газа по уравнению Менделеева – Клапейрона через два других известных параметра торможения:

. (21)

Вычислив площадь критического (минимального) сечения, найдем его диаметр

. (22)

Переходим к определению площади выходного сечения. Запишем соотношение (15) для выходного сечения:

. (23)

Подчеркнем индексом “1р” у функции тока, что речь идет о расчетном режиме истечения без скачков, когда значение энтропии и параметры торможения сохраняются неизменными по всей длине сопла. Расчетное значение функции тока в выходном сечении определим по формуле (17), зная , либо из таблиц.

По площади выходного сечения определим его диаметр (24); зная два диаметра (критического и выходного сечений) и угол раствора расширяющейся части a, легко построить сверхзвуковую часть сопла.

Что касается входной, суживающейся части сопла, то для ее построения существуют разнообразные инженерные формулы (см., например, в [3] формулу Витошинского). В настоящем расчетном задании предлагается более простой путь: не строить по точкам суживающуюся часть сопла, ограничившись схематичным ее изображением в виде двух симметричных кривых, которые по отношению к протекающему между ними газовому потоку являются выпуклыми. Последнее условие позволяет обеспечить в пределе бесконечную площадь сечения на входе в сопло, что соответствует заданию на входе параметров торможения, т.к. согласно уравнению неразрывности (13) нулевая или близкая к нулю скорость во входном сечении при конечном значении плотности потока имеет место при очень большой (в пределе бесконечной) площади поперечного сечения.