Рабочие тетради №2-9 / Рабочая тетрадь_7

Р

86

Пример 7.3. Таблица 7.4

С

87

Определяем коэффициенты регрессии:

_;

.

Уравнение регрессии имеет вид:

.

Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. руб.

О

88

_,

т.е. с увеличением стоимости основных фондов на 1%, объем валовой продукции увеличивается в среднем на 0,69%.

Коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (7.25)

представлен в гр. 7 табл. 7.4.

П

89

,

млн. руб.

Рис. 7.2. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Р

90

Когда наблюдение ведется над большим числом пар значений х и у, то данные удобнее располагать в виде аналитической или корреляционной таблицы, где указаны распределения по х и по у и, соответственно, их частоты n_x (n_i) и n_y (n_j).

_{При этом – общее число наблюдений.}

При составлении и решении системы нормальных уравнений в этих случаях все суммы значений х и у, произведений должны учитываться вместе с их весом, а именно:

^(7.26)

П

91

Таблица 7.5

92

_{; ;}

_{; .}

Система нормальных уравнений:

.

; .

К

93

; 8,025.

Уравнение регрессии: .

3,24; = 1,8.

16,50; = 4,06.

Коэффициент корреляции: _{= 0,6,}

т.е. между х и у связь средняя.

Проверяем на значимость коэффициент корреляции:

= 5,82 > t_табл = 2,02,

т.е. коэффициент корреляции можно считать существенным.

7

94

Значимость коэффициента регрессии определяется путем сопоставления его значения со средней ошибкой:

для параметра а₀: , (7.27)

для параметра а₁: . (7.28)

где , – средние ошибки параметров а₀ и а₁ соответственно:

, (7.29) . (7.30)

П

94

=2,872; =16,384; r =0,976 (см. пример 7.3).

а₀ = 13,865; а₁ =5,57 (см. пример 7.4).

Расчетные значения коэффициентов Стьюдента:

для параметра а₀: =11,074;

для параметра а₁: .

По таблице Стьюдента (α=5% и v =10–2=8) получаем =2,306.

Фактические значения и превышают . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты регрессии типичными.

Домашнее задание: проверить значимость параметров модели по данным примера 7.4.

7

96

Линейное уравнение множественной регрессии

. (7.31)

Система нормальных линейных уравнений МНК для оценки коэффициентов двухфакторной регрессии имеет вид:

(7.32)

С

97

_{, или} (7.33)

где – факторная дисперсия теоретических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех включенных в модель факторов;

– общая дисперсия эмпирических значений y, характеризует вариацию результативного признака за счет всех факторов, включая х;

– остаточная дисперсия эмпирических значений результативного признака, отражает влияние на вариацию у всех остальных факторов кроме х.

При линейной форме связи расчет совокупного коэффициента детерминации можно выполнить по формуле:

, (7.34)

С

98

В случае зависимости результативного признака от двух факторов множественный коэффициент корреляции R может быть вычислен по формуле:

, (7.35)

где – парные коэффициенты корреляции между признаками.

Отсюда вытекает условие включения факторов в модель:

Условие включения факторных признаков в регрессионную модель – наличие тесной связи между результативным и факторными признаками и как можно менее существенная связь между факторными признаками.

99

Значимость коэффициента множественной детерминации, а соответственно и адекватность всей модели и правильность выбора формы связи можно проверить с помощью критерия Фишера:

, (7.36)

где R² – коэффициент множественной детерминации (R² );

k – число факторных признаков, включенных в уравнение регрессии.

Связь считается существенной, если расчетное значение F-критерия больше табличного значения для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы v₁ = k, v₂ = n – k – 1.

F_расч > F_табл .

Домашнее задание: проверить с помощью критерия Фишера адекватность модели, построенной в примере 7.3.

Ч

100

, (7.37)

где – парный коэффициент корреляции между результативным и i-м факторным признаком;

– соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

. (7.38)

Частные коэффициенты корреляции для 2-х факторной модели:

; . (7.39)

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором – х_1.