Рабочие тетради №2-9 / Рабочая тетрадь_7

7

71

Корреляционная связь (частный случай стохастической) – связь, проявляющаяся при достаточно большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами.

Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению следующих задач:

• выявление наличия (или отсутствия) корреляционной связи между изучаемыми признаками;

• измерение тесноты связи между двумя (и более) признаками с помощью специальных коэффициентов. Корреляционный анализ;

• определение уравнения регрессии – математической модели, в которой среднее значение результативного признака у рассматривается как функция факторных признаков. Регрессионный анализ.

Задача корреляционного анализа – измерение тесноты связи между варьируемыми признаками и оценка факторов, оказывающих наибольшее влияние.

Задача регрессионного анализа – выбор типа модели (формы связи), устанавливающих степени влияния независимых переменных.

7

72

Различают:

• парную корреляцию – это зависимость между результативным и факторным признаком;

• частную корреляцию – это зависимость между результативным и одним факторным признаком при фиксированном значении других факторных признаков;

• множественную – многофакторное влияние в статической модели .

К простейшим показателям тесноты связи относятся:

• линейный коэффициент корреляции Пирсона;

• коэффициент детерминации;

• коэффициенты корреляции знаков – для оценки тесноты связи качественных признаков (непараметрические методы), Г. Фехнера, К. Спирмэна, М. Кэндэла.

7

73

Коэффициент Фехнера (коэффициент корреляции знаков) основан на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака (х и у) от своей средней величины. При этом во внимание принимаются не величины отклонений () и (), а их знаки (“+” или “–”). Определив знаки отклонения в каждом ряду, рассматривают все пары знаков и подсчитывают число их совпадений. Если совпадение знаков обозначить С, а несовпадений – Н, то коэффициент Фехнера:

. (7.1)

Как и любой показатель тесноты связи коэффициент Фехнера может принимать значения от –1 до +1 (). Если ΣН=0, знаки всех отклонений совпадают и К_ф = 1. Если ΣС=0, знаки всех отклонений не совпадают и К_ф = 0.

П

74

Таблица 7.1

^{– связь обратная, слабая.}

7

75

Линейный коэффициент корреляции представляет собой среднюю величину из произведений нормированных отклонений для х и у:

. (7.2)

и как постоянные величины можно вынести за знак суммы, тогда

. (7.3)

Числитель формулы (7.3), деленный на n, т.е.

, (7.4)

представляет собой среднее произведение отклонений значений признаков от их средних, именуемое ковариацией.

М

76

; (7.5)

; (7.6)

; (7.7)

, (7.8)

где a₁ – коэффициент регрессии в уравнении связи (см. подраздел 7.2).

Домашнее задание: вывести формулу (7.5) из формул (7.3, 7.6, 7.7)

Л

77

Таблица 7.2

Оценка линейного коэффициента корреляции

О

78

Для достаточно большого числа наблюдений (n>50):

. (7.9)

Если > 3 – r считается значимым, а связь существенной.

При небольшом числе наблюдений (n<30)

. (7.10)

Определяется расчетное значение t-критерия Стьюдента:

^{, (7.11)}

79

Таблица 7.3

Е

80

,

млн. руб.

Рис. 7.1. Диаграмма рассеяния

Р

81

=2,872;

_=16,384.

Рассчитываем линейный коэффициент корреляции по формуле (7.5)

=0,976 – сильная прямая связь между x и y.

Расчетное значение t-критерия Стьюдента:

_{> tкр=2,306,}

из ччего можно сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.

Домашнее задание: найти r, используя формулы (7.6) – (7.8) с помощью Ms Excel

7

82

7.2.1. Парная регрессия

линейная . (7.12)

полулогарифмическая ; (7.13)

показательная ; (7.14)

степенная ; (7.15)

параболическая ; (7.16)

гиперболическая . (7.17)

83

Для оценки параметров уравнений регрессии наиболее часто применяют метод наименьших квадратов (МНК)суть которого (для линейной зависимости):

^{. (7.18)}

Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении а₀ и а₁ функция двух переменных S может достигнуть минимума.

Как известно для этого надо найти частные производные S по а₀ и а₁, приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Найдем частные производные и приравняем их к нулю

(7.19)

С

84

(7.20)

Отсюда можно выразить коэффициенты регрессии:

;

(7.21)

.

Коэффициент регрессии а₀ иногда называют константой уравнения связи.

Домашнее задание: составить систему нормальных уравнений МНК для других видов зависимостей.

К

85

. (7.22)

Для линейной регрессии . (7.23)

Более точно коэффициент эластичности определяют

, (7.24)

где – первая производная уравнения регрессии у по х.

Для линейной зависимости

. (7.25)