Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Рабочие тетради №2-9 / Рабочая тетрадь _5

.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
356.35 Кб
Скачать

5

43

.4.1. Моменты распределения

Момент распределения k-го порядка – средняя величина отклонений k-й степени от некоторой постоянной величины А:

. (5.31)

Если А – произвольное число, то моменты условные.

Если А = 0, то моменты начальные;

(5.32)

m0 = 1; m1 – средняя арифметическая ().

Если А = , то моменты центральные;

(5.33)

= 1; = 0; – дисперсия (s2).

Нормированные моменты:

(5.34)

μ0=1; μ1=0; μ2=1.

Для центральных моментов можно вывести зависимости от начальных моментов:

П

44

оказатели формы распределения

Нормированный момент третьего порядка является показателем асимметрии распределения As:

. (5.35)

Рис. 5.2. Асимметрия распределения

С

45

тепень существенности асимметрии характеризуется средней квадратической ошибкой:

, (5.36)

Если , то асимметрия существенна.

В качестве показателя асимметрии применяется и коэффициент асимметрии Пирсона (As):

. (5.37)

Если As= 0, (т.е. ), то распределение симметричное (нормальное).

Если As < 0, то имеет место левосторонняя асимметрия.

Если As > 0,то имеет место правосторонняя асимметрия.

46

Нормированный момент четвертого порядка характеризует крутизну (заостренность) графика распределения:

. (5.38)

Показатель эксцесса рассчитывается:

. (5.39)

Если Ex = 0, то распределение симметрично;

Ex > 0, то распределение островершинное;

Ex < 0, то распределение плосковершинное (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Эксцесс распределения

Степень существенности эксцесса характеризуется средней квадратической ошибкой:

. (5.40)

Пример 5.4. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

По данным примера 5.1 рассчитать показатели асимметрии и эксцесса.

5

47

.5.1. Нормальное распределение

Распределение непрерывной случайной величины x называют нормальным, если соответствующая ей плотность распределения выражается формулой

,

или , (5.41)

где x – значение изучаемого признака;

– средняя арифметическая ряда;

s2 – дисперсия значений изучаемого признака;

s – среднее квадратическое отклонение изучаемого признака;

π = 3,1415926; е = 2,7182;

– нормированное отклонение.

48

Рис. 5.4. Кривые нормального распределения

49

Порядок расчета теоретических частот кривой нормального распределения:

  1. по эмпирическим данным рассчитывают среднюю арифметическую ряда и среднее квадратическое отклонение s;

  2. находят нормированное отклонение каждого варианта от средней арифметической ;

  3. по таблице распределения функции j(t) определяют ее значения;

  4. вычисляют теоретические частоты по формуле

=, (5.42)

где N – объем совокупности; hi – длина интервала.

Для вариационного ряда с равными интервалами:

П

50

ример 5.4.

Рассчитать теоретические частоты ряда распределения на основании данных о прибыли предприятий города, представленных в табл. 5.6.

Таблица 5.6

Объем продукции, млн.руб.

Число предприятий

fi

хi

хi fi

fi

1

2

3

4

5

6

7

8

1,40 – 1,60

6

1,5

9,0

1,441

-2,036

0,0573

4

1,60 – 1,80

16

1,7

27,2

1,346

-1,205

0,2059

16

1,81 – 2,00

26

1,9

49,4

0,211

-0,374

0,3778

31

2,01 – 2,20

36

2,1

75,6

0,436

0,457

0,3538

30

2,21 – 2,40

11

2,3

25,3

1,057

1,288

0,1691

14

2,41 – 2,60

5

2,5

12,5

1,301

2,119

0,0404

4

Итого

100

199,0

5,790

99

= 1,99 млн.руб. = 0,2406 млн.руб.

Анализируемый вариационный ряд имеет равные интервалы, следовательно:

= 83,12.

Последовательно умножив const на величину j(t) для каждого варианта, получим теоретические частоты (гр. 8 табл. 5.6).

Сравним на графике эмпирические fi и теоретические частоты (рис. 5.5).

51

5

52

.5.2. Критерии согласия

При проверке статистических гипотез часто используют следующие характеристики: уровень значимости a и число степеней свободы v.

Уровень значимости a – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях пользуются тремя уровнями значимости: a = 0,10; a = 0,05; a = 0,01.

Число степеней свободы v определяется как число групп в ряду распределения m минус число связей k:

v = mk.

В случае выравнивания по кривой нормального распределения имеется три связи:

э = т, sэ = sт, fi = S.

При выравнивании по кривой нормального распределения v = m – 3.

К

53

ритерий согласия Пирсона c2 (хи-квадрат)

или

(5.43)

,

где m – число групп в эмпирическом распределении;

fi , wi – наблюдаемые частота и частость признака в i-й группе;

, – теоретические частота и частость, рассчитанные по предполагаемому распределению.

Для оценки существенности расчетное значение c2расч сравнивается с табличным c2т.

К

54

ритерий Романовского c :

. (5.44)

Если c ≤ 3, то расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Критерий Колмогорова λ :

, (5.45)

где D – максимальная (по модулю) разность между накопленными частотами эмпирического и теоретического распределений ().

Рассчитав значение λ, по таблице P(λ) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны.

П

55

ример 5.5. Используя данные примера 5.4 (табл. 5.6), проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении предприятий по закону нормального распределения.

Таблица 5.7

Объем продукции, млн.руб.

Частоты

Накопленные частоты

fi

Fi

1

2

3

4

5

6

7

1,40 – 1,60

6

4

6

4

2

1,00

1,60 – 1,80

16

16

22

20

2

0,00

1,81 – 2,00

26

31

48

51

3

0,81

2,01 – 2,20

36

30

84

81

3

1,20

2,21 – 2,40

11

14

95

95

0

0,64

2,41 – 2,60

5

4

100

99

1

0,25

Итого

100

99

3,90

Критерий Пирсона:

c2расч = 3,90.

При α=0,05 и v = 3 табличное значение критерия c2т = 7,81.

c2расч ≤ c2т.

Критерий Романовского:

= 0,367 < 3 – гипотеза не отвергается

Критерий Колмогорова:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.