Решение:

Запишем состояния комплекса:

S₀ – все процессоры свободны, очереди нет.

S₁ – один процессор занят, очереди нет.

S₂ – два процессора заняты, очереди нет.

S₃ – три процессора заняты, очереди нет.

S₄ - три процессора заняты, одна заявка в памяти.

………….

S₇ – три процессора заняты, четыре заявки в памяти.

Следующая заявка, пришедшая в СМО, получает отказ.

Граф СМО приведен на рисунке 1:

Рис. 1

2. Вычислим стационарные вероятности состояний СМО по формулам (1), (2), (3):

…..

Из расчетов видно, что комплекс почти не простаивает (p₀ = 0.067)

Заметим, что лишь 22,9 % всех заявок, пришедших в комплекс, получат ее без очереди:

Вероятность отказа (4) в обслуживании примерно равна 5,1% (Pотк.=р8=0,051).

Относительная и абсолютная пропускные способности рассчитаем по формулам (5)

Q=1-p8=0,949 A=Q*λ=45,55 заяв/мин

По формуле (6) найдем среднее число занятых каналов

Оно не близко к трем, что свидетельствует о не большой загрузке комплекса.

Среднее число заявок в памяти рассчитаем по формулам (7,8)

По формулам (9, 10) найдем среднее число заявок в системе и среднее время в системе:

Анализ результатов показывает, что 94,9% заявок будут обслужены достаточно быстро (tсист=0,0682мин), и лишь маленький процент заявок (5,1%) получат отказ.

3. Найдем функциональную зависимость , задавая различную интенсивность. Зависимость представим в виде таблицы

λ	10	25	30	40	60	80	100
r0	0,0003	0,0254	0,0671	0,3478	10,6	32,67	162,30

Придавая различные значения интенсивности обслуживания. Зависимость представлена ниже.

µ	10	15	30	40	50
r0	120,6	6,97	0,095	0,02	0,007

4. Если один из процессоров перестанет работать, то при той же интенсивности входного потока и интенсивности обслуживания, комплекс не сможет нормально работать, очередь будет расти неограниченно. Для решения этой задачи можно либо уменьшить t_обс., либо увеличить число мест в очереди, что снизит Pотк. Рассмотрим зависимость Pотк от числа мест в очереди, рассчитывая Pотк по формуле (4).

m	5	6	8	10
Pотк	0,051	0,04	0,026	0,017

Можно сделать вывод, что с увеличением числа мест в очереди вероятность отказа понижается незначительно и при m=10, она равна 1,7 %. Значит увеличивать очередь невыгодно. Остается только уменьшать t_обс.

5. Найдем оптимальное число процессоров, если известно, что с1=50 уе – затраты на введение в работу одного процессора, отнесенного к единице времени, с2 = 280 уе – стоимость производственных потерь от задержки выполнения программы в течение одной и той же единицы времени.

Рассчитаем стоимостной показатель по формуле:

, где n – число аппаратов.

n	3	4	5	6	7
c(n)	1067,56	1117,56	1167,56	1217,56	1267,56

Наименьшее значение стоимостной функции достигается при n=3. Оптимальное число процессоров – три.

6. Выполнение срочного заказа увеличило интенсивность входного потока в 2 раза. Сколько процессоров нужно задействовать в комплексе, чтобы вероятность отказа возросла не более, чем в 1.5 раз?

Pотк ≤ 0.0765

Ниже приведена таблица зависимости вероятности отказа от числа процессоров:

m	3	4	5	6
Pотк	0,079	0,063	0,051	0,04

При удвоенной интенсивности входного потока нужно задействовать четыре процессора, чтобы вероятность отказа возросла не более, чем в полтора раза.

_{Приложение}

n =3

n =4

n =5

n =6

n =7

n =3

n =4

n =5

n =6

24